Questão 3. (20 pontos) Encontre todos os equilibrios do seguinte sistema
x^{\prime}=y, \quad y^{\prime}=x-x^{3}-y .
Determine a estabilidade destes equilibrios e use este resultado para esboçar seu retrato de fase completo, incluindo a orientação das soluções. Justifique.

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  • Encontrar todos os pontos de equilíbrio (pontos onde x'=0 e y'=0).
  • Determinar a estabilidade de cada equilíbrio.
  • Usar essa informação para esboçar o retrato de fase completo e indicar a orientação das soluções (setas do fluxo).
Informações que o enunciado dá (modelo do sistema):
x' = y,\qquad y' = x - x^{3} - y.
Nada mais foi dado; vamos usar só esse sistema para achar equilibria, linearizar, e depois usar ferramentas qualitativas (nullclines, função-Lyapunov) para justificar o retrato de fase completo.

Passo 2

Encontrar os pontos de equilíbrio. Por definição, em um equilíbrio ambos os derivativos são zero:
x'=0\quad\Rightarrow\quad y=0,
y'=0\quad\Rightarrow\quad x - x^{3} - y = 0.
Substituindo y=0 na segunda equação obtemos
x - x^{3} = 0 \quad\Rightarrow\quad x(1-x^{2})=0.
Portanto as soluções para x são x=0 e x=\pm 1. Com y=0 isso dá os três equilíbrios:
(0,0),\quad (1,0),\quad (-1,0).

Passo 3

Como vamos classificar a estabilidade, precisamos linearizar o sistema em cada equilíbrio. Relembre o procedimento e a ideia por trás:
  • A linearização num ponto de equilíbrio usa a matriz Jacobiana do campo de vetores. Ela aproxima o comportamento local por um sistema linear; as autovalores do Jacobiano determinam a estabilidade local (por Teorema de Hartman–Grobman, quando os autovalores não têm parte real zero).
  • Se todos os autovalores têm parte real negativa → equilíbrio linearmente assintoticamente estável (ponto-atrator local).
  • Se algum autovalor tem parte real positiva → equilíbrio instável.
  • Se autovalores têm sinais opostos (um positivo, um negativo) → ponto sela (instável).
Vamos calcular a Jacobiana. Definindo o campo F(x,y)=(f_1,f_2)=(y,\;x-x^{3}-y), a Jacobiana é
J(x,y)=\begin{pmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x} & \frac{\partial f_1}{\partial y}\\[4pt] \frac{\partial f_2}{\partial x} & \frac{\partial f_2}{\partial y} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 & 1\\[4pt] 1-3x^{2} & -1 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Avaliar o Jacobiano em cada equilíbrio e obter os autovalores.
a) No ponto (0,0):
J(0,0)=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]1 & -1\end{pmatrix}.
O polinômio característico é
\det\big(J(0,0)-\lambda I\big)=\begin{vmatrix}-\lambda & 1\\[4pt]1 & -1-\lambda\end{vmatrix}=\lambda(\lambda+1)-1=\lambda^{2}+\lambda-1.
As raízes são
\lambda=\frac{-1\pm\sqrt{1+4}}{2}=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}.
Numericamente, \lambda_{1}\approx 0{,}618>0 e \lambda_{2}\approx -1{,}618<0. Como há um autovalor positivo e outro negativo, (0,0) é um ponto sela (saddle) e, portanto, instável.
b) No ponto (1,0):
J(1,0)=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]1-3(1)^{2} & -1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]-2 & -1\end{pmatrix}.
O polinômio característico é
\lambda^{2}+\lambda+2=0,
com discriminante \Delta=1-8=-7<0. Assim os autovalores são complexos conjugados
\lambda=\frac{-1\pm i\sqrt{7}}{2},
cuja parte real é -\tfrac{1}{2}<0. Portanto (1,0) é um foco (espiral) assintoticamente estável (espiral atraente).
c) No ponto (-1,0):
J(-1,0)=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]1-3(-1)^{2} & -1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]-2 & -1\end{pmatrix},
ou seja, o mesmo Jacobiano que em (1,0). Logo os autovalores e a classificação são os mesmos: (-1,0) é também um foco assintoticamente estável (espiral atraente).
Resumo local: (0,0) é um ponto sela (instável). (1,0) e (-1,0) são espirais assintoticamente estáveis.]

Passo 5

Agora precisamos justificar o retrato de fase global (não apenas linearização local). Vou usar duas ferramentas qualitativas úteis e didáticas: nullclines (para orientar as setas no plano) e uma função energia (função-Lyapunov) que mostra dissipação e proíbe ciclos limitados.
  1. Nullclines:
  • A nullcline de x' é x'=0\Rightarrow y=0 (eixo x).
  • A nullcline de y' é y'=0\Rightarrow y=x-x^{3} (curva cúbica).
    Interseções dessas duas curvas são exatamente os equilíbrios encontrados. Entre as nullclines verificamos o sinal de x' e y' para orientar as setas:
  • Se y>0 então x'>0 (movimento para a direita). Se y<0 então x'<0 (para a esquerda).
  • Se y<x-x^{3} então y'>0 (subida); se y>x-x^{3} então y'<0 (descida).
    Com isso é possível desenhar a direção do campo em cada região do plano, observando que o eixo y=0 é linha onde a componente horizontal muda de sentido.
  1. Energia / função-Lyapunov (mostra dissipação, útil para explicar que soluções vão decair e não há órbitas periódicas isoladas):
    Defina a função
H(x,y)=\tfrac{1}{2}y^{2}+W(x),\qquad W(x)=-\tfrac{1}{2}x^{2}+\tfrac{1}{4}x^{4}.
Observações: W'(x)=-x+x^{3}, então os pontos críticos de W são x=0,\pm1, com W''(0)=-1<0 (máximo em 0) e W''(\pm1)=2>0 (mínimos em \pm1). Agora calcule a derivada de H ao longo das trajetórias:
\dot H = y\,y' + W'(x)\,x' = y(x - x^{3} - y)+(-x+x^{3})y = -y^{2}\le 0.
Portanto H é não crescente nas trajetórias e estritamente decrescente quando y\neq0. Isso mostra que o sistema é dissipativo: a “energia” diminui sempre que y\neq0.
Aplicação de LaSalle: o conjunto onde \dot H=0 é \{(x,y):y=0\}. A maior trajetória invariantes dentro desse conjunto são os equilíbrios, pois em y=0 temos também x'=y=0 e portanto y'=x-x^{3}=0 x\in\{0,\pm1\}. Pela invariância de LaSalle, toda solução converge, quando t\to+\infty, para um desses equilíbrios. Em particular, não existem ciclos limites isolados (pois se existissem contradiria a diminuição estrita de H em partes da órbita). Isso nos dá a informação global: todo ponto do plano tende, quando t\to+\infty, a um dos três equilíbrios; os dois poços de potencial (\pm1,0) atraem soluções e o ponto (0,0) é um separador (sela) entre essas bacias.

Passo 6

Esboço do retrato de fase e orientação (instrutivo para desenhar na prova; aqui descrevo como fazer e o que ocorrerá):
Como desenhar (passo a passo):
  • Trace a nullcline y=0 (eixo x).
  • Trace a nullcline y=x-x^{3} (curva cúbica com máximos e mínimos): cruza o eixo em -1,0,1. Ela tem forma de “S” invertido: para x muito negativo, x-x^{3}\approx -x^{3} positivo/negativo conforme sinal (mas o importante são cruzamentos e forma entre eles).
  • Marque os equilíbrios em (-1,0),(0,0),(1,0).
  • Em (\pm1,0) desenhe espirais convergentes (setas entrando), porque linearização deu autovalores complexos com parte real negativa.
  • Em (0,0) desenhe um sela: há uma direção estável (curva que entra em (0,0) quando t\to+\infty) e uma direção instável (curva que sai de (0,0) quando t\to-\infty). A variedade instável do sela (duas semi-ramificações) são as trajetórias que saem de (0,0) e vão, a partir do tempo futuro, em direção aos poços em \pm1.
  • Orientação local: para y>0 o fluxo vai para a direita; para y<0 vai para a esquerda. Junte isso com a condição vertical dada por y-x+x^{3} para decidir se sobe ou desce nas regiões entre as curvas.
  • Bacias de atração: pontos com x suficientemente positivos (ou que estejam do lado direito da curva separatriz que sai do sela) vão espiralar e convergir para (1,0). Analogamente, os do lado esquerdo vão para (-1,0). A separatriz é a variedade estável do sela (0,0) e divide as duas bacias. Por simetria ímpar do sistema ( x\mapsto -x,\\ y\mapsto -y muda o sinal do campo?), o retrato é simétrico em relação à origem no sentido adequado, e os dois poços têm comportamentos idênticos.
Importante: não há órbitas fechadas isoladas (nenhum ciclo limite) e todo ponto tende para um dos equilíbrios conforme explicado com H e LaSalle.

Passo 7

Resumo dos resultados dinâmicos que você deve colocar no desenho final da prova:
  • (0,0): sela — tem uma curva estável (que entra em t\to+\infty) que separa as duas bacias e uma curva instável (que sai quando integrando para trás). É instável.
  • (1,0) e (-1,0): focos (espirais) assintoticamente estáveis — setas circulam em espiral e entram nesses pontos.
  • Orientação geral: setas seguindo a regra x'>0 se y>0 (movimento para a direita aí) e x'<0 se y<0 (para a esquerda), combinado com sinais de y' deduzidos das nullclines.
  • Por \dot H=-y^{2}\le 0 e aplicação de LaSalle: todas as soluções convergem para algum equilíbrio quando t\to+\infty; logo não há ciclos limites isolados.

Resposta

(0,0): ponto sela (instável).
(1,0): foco (espiral) assintoticamente estável (sumidouro).
(-1,0): foco (espiral) assintoticamente estável (sumidouro).

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