(a) (10 pontos) Determine as condições sobre e para que .
(b) (10 pontos) Encontre uma base para e calcule sua dimensão.
(c) (10 pontos) Podemos que dizer que ? Em caso negativo, complete a base encontrada no item (b) para uma base de .
Passo 1
O enunciado define o subespaço como o span dos vetores , e . Pede-se:
(a) as condições entre para ;
(b) uma base de e sua dimensão;
(c) verificar se e, em caso negativo, estender a base de a uma base de .
Passo 2
Para (a), escrevemos um vetor genérico de
Isso gera o sistema
Da segunda equação segue obtemos . Então
Logo, a condição necessária e suficiente para é
Passo 3
Para (b), percebemos que z fica determinado por x e y. Fazendo x=s, y=t, vem
(x,y,z) = (s,t,2s+2t) = s,(1,0,2) + t,(0,1,2)
Os vetores (1,0,2) e (0,1,2) são linearmente independentes e geram W. Portanto,
uma base de W é (1,0,2),(0,1,2), é
e a dimensão de W é
dim W = 2
Passo 4
Para (c), como dim W=2<3, WneqR^3. Basta então escolher um vetor fora de W, por exemplo (0,0,1), que não satisfaz z=2(x+y). Adicionando-o à base de W obtemos uma base de R^3:
(1,0,2),,(0,1,2),,(0,0,1)
Resposta
(a) ;(x,y,z)in Wiff z=2(x+y)
(b) Uma base é (1,0,2),(0,1,2) e dim W=2
(c) WneqR^3. Uma extensão da base de W a R^3 é (1,0,2),(0,1,2),(0,0,1)