Questão 1: (30 pontos) Considere o conjunto:
W=[(1,0,2),(-1,1,0),(1,2,6)]
(a) (10 pontos) Determine as condições sobre x, y e z para que (x, y, z) in W.
(b) (10 pontos) Encontre uma base para W e calcule sua dimensão.
(c) (10 pontos) Podemos que dizer que W=R^3 ? Em caso negativo, complete a base encontrada no item (b) para uma base de R^3.

Passo 1

O enunciado define o subespaço WsubseteqR^3 como o span dos vetores (1,0,2), (-1,1,0) e (1,2,6). Pede-se:
(a) as condições entre x,y,z para (x,y,z)in W;
(b) uma base de W e sua dimensão;
(c) verificar se W=R^3 e, em caso negativo, estender a base de W a uma base de R^3.

Passo 2

Para (a), escrevemos um vetor genérico de
Isso gera o sistema
Da segunda equação segue obtemos . Então
Logo, a condição necessária e suficiente para é

Passo 3

Para (b), percebemos que z fica determinado por x e y. Fazendo x=s, y=t, vem
(x,y,z) = (s,t,2s+2t) = s,(1,0,2) + t,(0,1,2)
Os vetores (1,0,2) e (0,1,2) são linearmente independentes e geram W. Portanto,
uma base de W é (1,0,2),(0,1,2), é
e a dimensão de W é
dim W = 2

Passo 4

Para (c), como dim W=2<3, WneqR^3. Basta então escolher um vetor fora de W, por exemplo (0,0,1), que não satisfaz z=2(x+y). Adicionando-o à base de W obtemos uma base de R^3:
(1,0,2),,(0,1,2),,(0,0,1)

Resposta

(a) ;(x,y,z)in Wiff z=2(x+y)
(b) Uma base é (1,0,2),(0,1,2) e dim W=2
(c) WneqR^3. Uma extensão da base de W a R^3 é (1,0,2),(0,1,2),(0,0,1)

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