1. Seja V=R^2 e considere as bases G=(1,0),(1,1) e H=(1,0),(0,-1).
    a) Determine as coordenadas de um vetor (x, y) in R^2 na base G.

Passo 1

O enunciado pede para escrever um vetor arbitrário (x,y)inR^2 como combinação linear dos vetores da base G=(1,0),(1,1). O conteúdo aqui é mudança de base em espaços vetoriais e vamos precisar decompor (x,y) em coordenadas relativas a G.

Passo 2

Chamando de alpha e beta as coordenadas de (x,y) na base G, escrevemos
(x,y) ;=; alpha,(1,0) ;+;beta,(1,1)

Passo 3

Desenvolvendo a combinação linear, obtemos o sistema
alpha + beta = x, beta = y

Passo 4

Da segunda equação segue beta = y. Substituindo na primeira, alpha = x - beta = x - y.

Resposta

As coordenadas de (x,y) na base G são
(x,y)G = (,alpha,beta) = (,x - y,;y)

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