Questão 4 Considere a seguinte demonstração de que existe um único elemento neutro num espaço vetorial V : Suponha que 0 e tilde0 sejam elementos neutros de V. Daí 0+tilde0=tilde0 e, também, 0+tilde0=tilde0+0=0. Dessa forma, 0=tilde0.
(a) Justifique em no máximo 2 linhas o porquê 0+tilde0=tilde0;
(b) Justifique em no máximo 2 linhas o porquê 0+tilde0=tilde0+0.

Passo 1

O enunciado quer justificar duas igualdades básicas em qualquer espaço vetorial V:
(a) por que 0+tilde0=tilde0;
(b) por que 0+tilde0=tilde0+0.
Vamos usar apenas os axiomas de elemento neutro e comutatividade da soma.

Passo 2

Para (a), lembramos que 0 é o elemento neutro em V, ou seja, para todo vin V vale
0+v = v
Basta tomar v=tilde0 para obter 0+tilde0=tilde0.

Passo 3

Para (b), usamos que a adição em V é comutativa, isto é, para quaisquer u,vin V
u+v = v+u
Tomando u=0 e v=tilde0 temos 0+tilde0=tilde0+0.

Resposta

(a) Como 0 é elemento neutro, 0+tilde0=tilde0.
(b) Como a adição em V é comutativa, 0+tilde0=tilde0+0.

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