Questão 4 Considere a seguinte demonstração de que existe um único elemento neutro num espaço vetorial
: Suponha que 0 e
sejam elementos neutros de V. Daí
e, também,
. Dessa forma,
.
(a) Justifique em no máximo 2 linhas o porquê
;
(b) Justifique em no máximo 2 linhas o porquê
.
(a) Justifique em no máximo 2 linhas o porquê
(b) Justifique em no máximo 2 linhas o porquê
Passo 1
O enunciado quer justificar duas igualdades básicas em qualquer espaço vetorial
:
(a) por que ;
(b) por que .
Vamos usar apenas os axiomas de elemento neutro e comutatividade da soma.
(a) por que
(b) por que
Vamos usar apenas os axiomas de elemento neutro e comutatividade da soma.
Passo 2
Para (a), lembramos que
é o elemento neutro em
, ou seja, para todo
vale
Basta tomar
para obter
.
Passo 3
Para (b), usamos que a adição em
é comutativa, isto é, para quaisquer
Tomando
e
temos
.
Resposta
(a) Como
é elemento neutro,
.
(b) Como a adição em é comutativa,
.
(b) Como a adição em