Questão 2 (30 pontos): Considere os vetores de funções
e
:
Pede-se:
(b) obtenha a solução geral do sistema (2).
(b) obtenha a solução geral do sistema (2).
Passo 1
O enunciado pede a solução geral do sistema de EDOs lineares homogêneas
, com
e foram fornecidas duas soluções particulares
O conteúdo envolve sistemas lineares homogêneos e o uso de soluções fundamentais para obter a solução geral.
Passo 2
Primeiro verificamos que as duas soluções dadas são independentes: cada uma tem exponencial com parâmetro diferente (
e
), o que garante que formam um conjunto fundamental de soluções do sistema.
Passo 3
Pelo princípio da superposição, a solução geral de um sistema homogêneo com duas soluções independentes é dada por uma combinação linear dessas soluções:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 4
Substituindo as expressões de
e
, obtemos explicitamente
com
.
Resposta
A solução geral é
com constantes arbitrárias
e
.