Questão 2 (30 pontos): Considere os vetores de funções x^(1)(t) e x^(2)(t) :
x^(1)(t)=[c 10 cdot e^2 t 2,5 cdot e^2 t ], x^(2)(t)=[c -e^-3 t e^-3 t ]
Pede-se:
(b) obtenha a solução geral do sistema (2).
[l dotx1(t) dotx2(t) ]=[cc 1 & 4 1 & -2 ] cdot[l x1(t) x2(t) ]

Passo 1

O enunciado pede a solução geral do sistema de EDOs lineares homogêneas dotx(t)=A,x(t), com
A=1 & 41 & -2,
e foram fornecidas duas soluções particulares
x^(1)(t)=10e^2t2.5e^2t, x^(2)(t)=-e^-3te^-3t
O conteúdo envolve sistemas lineares homogêneos e o uso de soluções fundamentais para obter a solução geral.

Passo 2

Primeiro verificamos que as duas soluções dadas são independentes: cada uma tem exponencial com parâmetro diferente ( 2 e -3), o que garante que formam um conjunto fundamental de soluções do sistema.

Passo 3

Pelo princípio da superposição, a solução geral de um sistema homogêneo com duas soluções independentes é dada por uma combinação linear dessas soluções:
x(t)=C1,x^(1)(t)+C2,x^(2)(t),
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Passo 4

Substituindo as expressões de x^(1)(t) e x^(2)(t), obtemos explicitamente
x(t)=C110e^2t2.5e^2t+C2-e^-3te^-3t,
com C1,C2in R.

Resposta

A solução geral é
x(t)=C110e^2t2.5e^2t+C2-e^-3te^-3t,
com constantes arbitrárias C1 e C2.

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