(a) Seja
. Derive esta série para mostrar que
para
.
Passo 1
A questão pede para estudar a série de potências relacionada aos coeficientes binomiais de ordem real e mostrar que, ao derivar termo a termo, ela satisfaz uma certa equação diferencial simples.
Passo 2
Estamos trabalhando com a série de potências
que converge para
. O assunto é derivação termo a termo de séries de potências e uso da identidade de coeficientes binomiais generalizados.
Passo 3
Como a série converge absolutamente em
, podemos derivar termo a termo:
Passo 4
Usamos a identidade
que vem diretamente de
$$g’(x)=k\sum_{n=1}{\infty}\binom{k-1}{n-1},x{n-1}.
$$
Passo 5
Fazendo a troca de índice
, a soma vira
$$g’(x)=k\sum_{m=0}{\infty}\binom{k-1}{m},x{m}=k,(1+x)^{k-1}.
$$