(a) Seja g(x)=sumn=0^inftybinomnk x^n. Derive esta série para mostrar que g^prime(x)=k g(x)1+x para -1.

Passo 1

A questão pede para estudar a série de potências relacionada aos coeficientes binomiais de ordem real e mostrar que, ao derivar termo a termo, ela satisfaz uma certa equação diferencial simples.

Passo 2

Estamos trabalhando com a série de potências
g(x)= ,sumn=0^inftybinomkn,x^n,
que converge para |x|<1. O assunto é derivação termo a termo de séries de potências e uso da identidade de coeficientes binomiais generalizados.

Passo 3

Como a série converge absolutamente em |x|<1, podemos derivar termo a termo:
g'(x)=sumn=0^inftynbinomkn,x^n-1

Passo 4

Usamos a identidade
nbinomkn=kbinomk-1n-1,
que vem diretamente de binomkn=knbinomk-1n-1. Substituindo na soma, obtemos
$$g’(x)=k\sum_{n=1}{\infty}\binom{k-1}{n-1},x{n-1}.
$$

Passo 5

Fazendo a troca de índice m=n-1, a soma vira
$$g’(x)=k\sum_{m=0}{\infty}\binom{k-1}{m},x{m}=k,(1+x)^{k-1}.
g'(x)=ksumm=0^inftybinomk-1m,x^m=k,(1+x)^k-1 éíg’(x)=\frac{k,(1+x)^{k}}{1+x}=\frac{k,g(x)}{1+x}.
$$

Resposta

g'(x)=k,g(x)1+x

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