Questão 2 (30 pontos): Considere os vetores de funções
e
:
Pede-se:
(a) mostre que estes vetores são soluções do sistema (2) e formam um conjunto linearmente independente para qualquer
.
(a) mostre que estes vetores são soluções do sistema (2) e formam um conjunto linearmente independente para qualquer
Passo 1
Temos o sistema de EDO linear de segunda ordem em dimensão 2 dado por\nA matriz do sistema é\n
E as duas soluções candidatas são
Precisamos mostrar que cada uma satisfaz
e que são linearmente independentes para todo
.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar que
satisfaz o sistema. Calculamos a derivada:
Agora calculamos
:
Como
, então
é solução.
Passo 3
Agora verificamos
. A derivada é
E o produto
é
Logo
, então
também é solução.
Passo 4
Para mostrar independência linear, montamos a matriz fundamental
e calculamos seu determinante (o Wronskiano):
Como
para todo
, as soluções são linearmente independentes.
Resposta
As duas funções são soluções do sistema e formam um conjunto linearmente independente, pois o Wronskiano é
para todo
.