Questão 2 (30 pontos): Considere os vetores de funções x^(1)(t) e x^(2)(t) :
x^(1)(t)=[c 10 cdot e^2 t 2,5 cdot e^2 t ], x^(2)(t)=[c -e^-3 t e^-3 t ]
Pede-se:
(a) mostre que estes vetores são soluções do sistema (2) e formam um conjunto linearmente independente para qualquer t.
[l dotx1(t) dotx2(t) ]=[cc 1 & 4 1 & -2 ] cdot[l x1(t) x2(t) ]

Passo 1

Temos o sistema de EDO linear de segunda ordem em dimensão 2 dado por\nA matriz do sistema é\n A=1 & 4 1 & -2
E as duas soluções candidatas são
x^(1)(t)=10e^2t2.5e^2t, x^(2)(t)=-e^-3te^-3t
Precisamos mostrar que cada uma satisfaz dot x=Ax e que são linearmente independentes para todo t.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar que x^(1)(t) satisfaz o sistema. Calculamos a derivada:
dot x^(1)(t)=10cdot2e^2t2.5cdot2e^2t= 20e^2t5e^2t
Agora calculamos A,x^(1)(t):
A,x^(1)(t)=1 & 41 & -210e^2t2.5e^2t= 10e^2t+10e^2t10e^2t-5e^2t= 20e^2t5e^2t
Como dot x^(1)(t)=A,x^(1)(t), então x^(1) é solução.

Passo 3

Agora verificamos x^(2)(t). A derivada é
dot x^(2)(t)=-(-3)e^-3t-3e^-3t= 3e^-3t-3e^-3t
E o produto A,x^(2)(t) é
A,x^(2)(t)=1 & 41 & -2-e^-3te^-3t= -e^-3t+4e^-3t-e^-3t-2e^-3t= 3e^-3t-3e^-3t
Logo dot x^(2)(t)=A,x^(2)(t), então x^(2) também é solução.

Passo 4

Para mostrar independência linear, montamos a matriz fundamental [x^(1)(t),x^(2)(t)] e calculamos seu determinante (o Wronskiano):
W(t)=det10e^2t & -e^-3t2.5e^2t & e^-3t =10e^2tcdot e^-3t-(-e^-3t)cdot2.5e^2t =12.5e^-t
Como 12.5e^-tneq0 para todo t, as soluções são linearmente independentes.

Resposta

As duas funções são soluções do sistema e formam um conjunto linearmente independente, pois o Wronskiano é W(t)=12.5e^-tneq0 para todo t.

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