Questão 1. (30 pontos) Resolva os seguintes PVI’s
(a) (10 pontos)
(b) (
pontos)
(c) (
pontos) No item (a), encontre os valores de
e
tais que a solução toca o eixo horizontal, sem cruzá-lo.
(a) (10 pontos)
Passo 1
O enunciado pede que eu resolva três itens relacionados a problemas de valor inicial (PVI). Vou listar claramente o que é pedido e quais dados tenho:
- Item (a): Resolver o PVI
Ou seja, encontrar a função
que satisfaça a equação diferencial e a condição inicial em
. A incógnita dada na condição inicial é
) (valor numérico desconhecido).
- Item (b): Resolver o PVI
Aqui a solução deve ser válida para
(porque aparece
e raízes de
) e a condição inicial é
.
- Item (c): Com base no item (a), encontrar os valores de
e tais que a solução do item (a) “toca o eixo horizontal, sem cruzá‑lo”. Isto significa que existe um ponto tal que a solução tem e, ao tocá‑lo, não muda de sinal (tangência), o que normalmente implica também .
Todas as informações relevantes do enunciado já estão acima; agora eu começo a resolver passo a passo.
Passo 2
Pequena aula sobre o método que vou usar (ferramenta principal: fator integrante para EDO linear de 1ª ordem).
Considere uma equação linear de primeira ordem na forma
- Aqui
é a função desconhecida de . -
e são funções conhecidas de .
A técnica do fator integrante consiste em encontrar uma função
tal que ao multiplicarmos a equação por
ela vire a derivada de um produto simples. Escolhemos
Isso porque, se calcularmos
obtemos
Mas
(derivando a exponencial), então
Logo, multiplicando a equação original por
obtemos
que podemos integrar:
. Por fim isolamos
. É um método padrão e eficiente para essas equações.
Agora aplico isso nos itens.
Passo 3
Resolução do item (a). Reescrevo a equação na forma padrão:
ou seja
e
.
Calculo o fator integrante:
Multiplico toda a equação por
. Pela propriedade do fator integrante tenho:
Passo 4
Integro ambos os lados em relação a
. Primeiro escrevo o lado direito:
Agora faço a integral:
Calculo cada integral:
Portanto
Assim obtenho (adicionando constante de integração
):
Passo 5
Isolo
dividindo por
:
Agora uso a condição inicial
. Substituo
:
Logo
Portanto a solução do PVI do item (a) é
(Guarde essa expressão para usar no item (c).)
Passo 6
Resolução do item (b). A equação é
Aqui
e
. O domínio natural é
.
Calculo o fator integrante:
(Repare que
para
.)
Multiplico a equação por
:
Passo 7
Integro ambos os lados:
Calculo a integral:
Assim
Isolando
:
Uso a condição inicial
:
logo
.
Substituindo em
obtemos a solução do PVI do item (b):
Passo 8
Resolução do item (c). Interpretação de “toca o eixo horizontal, sem cruzá‑lo”: existe
tal que
e a solução não muda de sinal ao passar por
. Uma condição prática para tangência é que a derivada no ponto também seja zero:
. Vou usar essas duas equações simultâneas.
Da equação diferencial do item (a) temos, para qualquer
,
Se em
tivermos
e
, substituo na expressão acima:
portanto
Passo 9
Resolvo a equação para
:
Note que
, portanto atende à exigência
.
Agora determino o
que faz com que a solução do item (a) satisfaça
. Uso a expressão geral obtida no Passo 5:
Substituo
. Como
e
, acho
Passo 10
Faço as contas para isolar
. Primeiro simplifico:
Então
Multiplico ambos os lados por
:
Assim
Portanto o valor de
que garante tangência no eixo
em
é
. Confirmamos que para esse
a solução satisfaz
e, pela equação diferencial,
, caracterizando o toque sem cruzamento.
Resposta
(a)
(b)
(c)
\n
.