Questão 2. ( 35 pontos) Considere a seguinte E D O autônoma, onde a \in \mathbb{R} é uma constante dada, fixa,
y^{\prime}=a y-y^{2}
(a) Determine todos os pontos de equilíbrio da equação e os classifique como assintoticamente estáveis ou instáveis (para cada a \in \mathbb{R} ). (15 pontos)
(b) Resolva o PVI (1) com a condição inicial y(0)=y_{0}. ( \mathbf{1 0} pontos)
(c) Explique qual o resultado do limite \lim _{t \rightarrow+\infty} y(t) de acordo com as conclusões dos itens (a) ou (b) e com a condição inicial y(0)=y_{0} usada. ( \mathbf{1 0} pontos)
Passo 1
O problema dá a equação diferencial autônoma
y'=a y - y^{2},
com a\in\mathbb{R} constante fixa, e pede três coisas:
(a) Determinar todos os pontos de equilíbrio (ou pontos críticos) e classificá‑los como assintoticamente estáveis ou instáveis, para cada a\in\mathbb{R}.
(b) Resolver o problema de valor inicial (PVI) com condição y(0)=y_{0}.
(c) Explicar o valor do limite \lim_{t\to+\infty} y(t) de acordo com as conclusões dos itens (a) e (b), relacionando com a condição inicial y(0)=y_{0}.
Informações relevantes dadas: a equação é autônoma (o lado direito depende só de y e do parâmetro a), e a condição inicial para o PVI é y(0)=y_{0}. Não há outras informações extra (por ex. restrição sobre y_{0}), então devemos tratar os casos possíveis de y_{0} e de a.
Passo 2
Encontrar os pontos de equilíbrio: por definição, pontos de equilíbrio são valores y_* tais que y'=0 quando y=y_*. Portanto resolvemos
a y - y^{2}=0.
Fatorando,
y(a-y)=0.
Logo os pontos de equilíbrio são
y_{*}=0\quad\text{e}\quad y_{*}=a.
Observação: se a=0 então ambos coincidem e há um único equilíbrio y_{*}=0.
Passo 3
Classificação linear (linearização) — explico o método: para uma EDO autônoma y'=f(y), se f é diferenciável e y_{*} satisfaz f(y_{*})=0, então o sinal de f'(y_{*}) determina a estabilidade linear: se f'(y_{*})<0 o equilíbrio é localmente assintoticamente estável; se f'(y_{*})>0 é instável; se f'(y_{*})=0 o caso é não‑hiperbólico e precisa de análise adicional.
Aqui f(y)=a y-y^{2}. Calculo a derivada
f'(y)=a-2y.
Avalio em cada equilíbrio:
Em y_{*}=0:
f'(0)=a-2\cdot 0 = a.
Portanto:
se a<0 então f'(0)<0 e y_{*}=0 é (linearmente) assintoticamente estável;
se a>0 então f'(0)>0 e y_{*}=0 é instável;
se a=0 então f'(0)=0 e o caso é não‑hiperbólico (precisa de análise direta).
Em y_{*}=a:
f'(a)=a-2a=-a.
Portanto:
se a>0 então f'(a)=-a<0 e y_{*}=a é assintoticamente estável;
se a<0 então f'(a)=-a>0 e y_{*}=a é instável;
se a=0 então y_{*}=a=0 já considerado (caso degenerado).
Resumo provisório (a ≠ 0): para a>0: 0 é instável e a é estável; para a<0: 0 é estável e a é instável. Quando a=0 o equilíbrio y=0 é não‑hiperbólico e precisa análise do fluxo (feito adiante).
Passo 4
Resolver o PVI — método: equação separável. Vou mostrar passo a passo a técnica e a decomposição em frações parciais.
Temos
\frac{dy}{dt}=a y-y^{2}=y(a-y).
Supondo y\) não identicamente zero na região onde queremos a solução, escrevemos a separação:
\[\frac{dy}{y(a-y)}=dt.
Agora a fração do lado esquerdo é decomponível em frações parciais. Procuro constantes A,B tais que
\frac{1}{y(a-y)}=\frac{A}{y}+\frac{B}{a-y}.
Multiplicando por y(a-y) obtemos
1 = A(a-y) + B y = A a + (B-A)y.
Comparando coeficientes em y e constantes:
\begin{cases} A a = 1\\\ B-A = 0 \end{cases}
Logo A=\dfrac{1}{a}\] e \(B=A=\dfrac{1}{a}. Portanto
Nota sobre domínio e comportamento: para a=0 e y_{0}>0 a solução é definida para todo t\ge 0 e tende a 0 quando t\to\infty. Para a=0 e y_{0}<0 há um tempo finito t=-1/y_{0}>0 em que o denominador zera e a solução explode (vai para -\infty) — isto é, há blow‑up em tempo finito.
Passo 6
Interpretar o limite \lim_{t\to+\infty} y(t) a partir da solução explícita e da classificação de estabilidade. Vou separar em casos do parâmetro a e da condição inicial y_{0}.
Caso a>0.
Se y_{0}=0 então y(t)\equiv 0 e \lim_{t\to\infty}y(t)=0. (Mas 0 é instável: pequenas perturbações positivas levam para a.)
Se y_{0}=a então y(t)\equiv a e \lim_{t\to\infty}y(t)=a.
Se y_{0}>0 e y_{0}\neq a: da fórmulay(t)=\dfrac{a}{1+\left(\dfrac{a-y_{0}}{y_{0}}\right)e^{-a t}},como t\to\infty temos e^{-a t}\to 0, logo y(t)\to a. Isso coincide com a classificação: y=a é assintoticamente estável, portanto soluções iniciadas com y_{0}>0 tendem para a.
Se y_{0}<0: então na fórmula a constante K=\dfrac{y_{0}}{a-y_{0}} é negativa, e existe um tempo finito t^{*}>0 tal que 1+K e^{a t^{*}}=0; nesse instante o denominador zera e a solução tem blow‑up (vai para -\infty). Portanto para y_{0}<0 a solução não existe globalmente para todos t\ge 0 e o limite quando t\to\infty não é aplicável (a solução explode em tempo finito). Conclusão prática: para a>0 e y_{0}>0 temos \lim_{t\to\infty}y(t)=a.
Caso a<0.
Se y_{0}=a então y(t)\equiv a e \lim_{t\to\infty}y(t)=a. (Este equilíbrio é instável.)
Se y_{0}=0 então y(t)\equiv 0 e \lim_{t\to\infty}y(t)=0.
Para y_{0}\neq 0,a a solução explícita (com a<0) éy(t)=\dfrac{a}{1+\left(\dfrac{a-y_{0}}{y_{0}}\right)e^{-a t}}.Note que agora e^{-a t}=e^{|a|t} cresce quando t diminui, mas ao enviar t\to\infty temos e^{-a t}\to 0. Portanto o termo que multiplica e^{-a t} tende a zero e a fração tende a\lim_{t\to\infty} y(t)=\dfrac{a}{1+0}=a\quad\text{?}Atenção: recompute com cuidado: se a<0 então e^{-a t}=e^{|a|t} cresce com t. Errei nesta linha — refaço a análise corretamente: para a<0 temos e^{-a t}=e^{|a|t}\to +\infty quando t\to\infty. Assim o denominador1+\left(\frac{a-y_{0}}{y_{0}}\right)e^{-a t}fica dominado pelo segundo termo para grandes t, e então y(t) tende a 0. (Outra forma: olhar a forma y(t)=\dfrac{a y_{0}}{y_{0}+(a-y_{0})e^{-a t}}; com a<0, e^{-a t}\to\infty e o denominador cresce, levando y\to 0.)
Portanto, para a<0 e y_{0}\neq a tem‑se \lim_{t\to\infty} y(t)=0.
Conclusão prática: para a<0, o equilíbrio y=0 é atrator global (isto é, \lim_{t\to\infty}y(t)=0 para toda condição inicial y_{0} exceto a trivial y_{0}=a em que a solução permanece no equilíbrio a). Observação: y=a é instável quando a<0.
Caso a=0. Já resolvemos: y'=-y^{2} dá y(t)=\dfrac{1}{t+1/y_{0}} para y_{0}\neq 0, e y\equiv 0 para y_{0}=0. Assim:
Se y_{0}>0 então y(t) é definida para todo t\ge 0 e \lim_{t\to\infty}y(t)=0.
Se y_{0}=0 então \lim_{t\to\infty}y(t)=0.
Se y_{0}<0 então há blow‑up em tempo finito (o denominador zera para t=-1/y_{0}>0) e não existe limite quando t\to\infty (a solução deixa de existir antes desse limite).
Resumo da relação com (a): os limites coincidem com os pontos estáveis indicados pela linearização quando a solução existe globalmente para t\ge 0. Para a>0 o equilíbrio \,y=a\, atrai soluções com y_{0}>0; para a<0 o equilíbrio \,y=0\, atrai soluções (exceto a solução estacionária y\equiv a). Os casos com y_{0}<0 e a\ge 0 podem levar a explosão em tempo finito (sem limite em +\infty).
Resposta
(a) Os pontos de equilíbrio são y_{*}=0 e y_{*}=a. Para a\neq 0:
Se a>0: y_{*}=0 é instável e y_{*}=a é assintoticamente estável.
Se a<0: y_{*}=0 é assintoticamente estável e y_{*}=a é instável.
Se a=0 há único equilíbrio y_{*}=0 (não‑hiperbólico; atrai soluções com y_{0}>0 e repele as com y_{0}<0, sendo portanto semi‑estável).
Casos particulares: se y_{0}=0 então y(t)\equiv 0; se y_{0}=a então y(t)\equiv a.
Para a=0 e y_{0}\neq 0:
y(t)=\dfrac{1}{t+\dfrac{1}{y_{0}}},
e se y_{0}=0 então y(t)\equiv 0.
(c) Limites quando t\to+\infty (dependendo de a e y_{0}):
a>0: se y_{0}>0 então \displaystyle\lim_{t\to\infty}y(t)=a. Se y_{0}=0 lim = 0. Se y_{0}<0 a solução explode em tempo finito (não existe limite em +\infty).
a<0: para todo y_{0}\neq a tem \displaystyle\lim_{t\to\infty}y(t)=0. Se y_{0}=a a solução é a constante a (logo limite a).
a=0: se y_{0}>0 ou y_{0}=0 então \displaystyle\lim_{t\to\infty}y(t)=0. Se y_{0}<0 há blow‑up em tempo finito (sem limite em +\infty).