Questão 2. ( 35 pontos) Considere a seguinte E D O autônoma, onde a \in \mathbb{R} é uma constante dada, fixa,
y^{\prime}=a y-y^{2}
(a) Determine todos os pontos de equilíbrio da equação e os classifique como assintoticamente estáveis ou instáveis (para cada a \in \mathbb{R} ). (15 pontos)
(b) Resolva o PVI (1) com a condição inicial y(0)=y_{0}. ( \mathbf{1 0} pontos)
(c) Explique qual o resultado do limite \lim _{t \rightarrow+\infty} y(t) de acordo com as conclusões dos itens (a) ou (b) e com a condição inicial y(0)=y_{0} usada. ( \mathbf{1 0} pontos)

Passo 1

O problema dá a equação diferencial autônoma
y'=a y - y^{2},
com a\in\mathbb{R} constante fixa, e pede três coisas:
  • (a) Determinar todos os pontos de equilíbrio (ou pontos críticos) e classificá‑los como assintoticamente estáveis ou instáveis, para cada a\in\mathbb{R}.
  • (b) Resolver o problema de valor inicial (PVI) com condição y(0)=y_{0}.
  • (c) Explicar o valor do limite \lim_{t\to+\infty} y(t) de acordo com as conclusões dos itens (a) e (b), relacionando com a condição inicial y(0)=y_{0}.
Informações relevantes dadas: a equação é autônoma (o lado direito depende só de y e do parâmetro a), e a condição inicial para o PVI é y(0)=y_{0}. Não há outras informações extra (por ex. restrição sobre y_{0}), então devemos tratar os casos possíveis de y_{0} e de a.

Passo 2

Encontrar os pontos de equilíbrio: por definição, pontos de equilíbrio são valores y_* tais que y'=0 quando y=y_*. Portanto resolvemos
a y - y^{2}=0.
Fatorando,
y(a-y)=0.
Logo os pontos de equilíbrio são
y_{*}=0\quad\text{e}\quad y_{*}=a.
Observação: se a=0 então ambos coincidem e há um único equilíbrio y_{*}=0.

Passo 3

Classificação linear (linearização) — explico o método: para uma EDO autônoma y'=f(y), se f é diferenciável e y_{*} satisfaz f(y_{*})=0, então o sinal de f'(y_{*}) determina a estabilidade linear: se f'(y_{*})<0 o equilíbrio é localmente assintoticamente estável; se f'(y_{*})>0 é instável; se f'(y_{*})=0 o caso é não‑hiperbólico e precisa de análise adicional.
Aqui f(y)=a y-y^{2}. Calculo a derivada
f'(y)=a-2y.
Avalio em cada equilíbrio:
  • Em y_{*}=0:
f'(0)=a-2\cdot 0 = a.
Portanto:
  • se a<0 então f'(0)<0 e y_{*}=0 é (linearmente) assintoticamente estável;
  • se a>0 então f'(0)>0 e y_{*}=0 é instável;
  • se a=0 então f'(0)=0 e o caso é não‑hiperbólico (precisa de análise direta).
  • Em y_{*}=a:
f'(a)=a-2a=-a.
Portanto:
  • se a>0 então f'(a)=-a<0 e y_{*}=a é assintoticamente estável;
  • se a<0 então f'(a)=-a>0 e y_{*}=a é instável;
  • se a=0 então y_{*}=a=0 já considerado (caso degenerado).
Resumo provisório (a ≠ 0): para a>0: 0 é instável e a é estável; para a<0: 0 é estável e a é instável. Quando a=0 o equilíbrio y=0 é não‑hiperbólico e precisa análise do fluxo (feito adiante).

Passo 4

Resolver o PVI — método: equação separável. Vou mostrar passo a passo a técnica e a decomposição em frações parciais.
Temos
\frac{dy}{dt}=a y-y^{2}=y(a-y).
Supondo y\) não identicamente zero na região onde queremos a solução, escrevemos a separação: \[\frac{dy}{y(a-y)}=dt.
Agora a fração do lado esquerdo é decomponível em frações parciais. Procuro constantes A,B tais que
\frac{1}{y(a-y)}=\frac{A}{y}+\frac{B}{a-y}.
Multiplicando por y(a-y) obtemos
1 = A(a-y) + B y = A a + (B-A)y.
Comparando coeficientes em y e constantes:
\begin{cases} A a = 1\\\ B-A = 0 \end{cases}
Logo A=\dfrac{1}{a}\] e \(B=A=\dfrac{1}{a}. Portanto
\frac{1}{y(a-y)}=\frac{1}{a}\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{a-y}\right).
Agora integro ambos os lados em t:
\int \frac{1}{a}\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{a-y}\right)\,dy = \int dt.
Calculo as primitivas com calma (lembrando que \int \dfrac{1}{a-y}\,dy = -\ln|a-y|):
\frac{1}{a}\big(\ln|y| - \ln|a-y|\big) = t + C,
onde C é constante de integração. Multiplico por a e recombino os logaritmos:
\ln\left|\frac{y}{a-y}\right| = a t + C_{1},\quad C_{1}=aC.
Exponentiando:
\frac{y}{a-y}=K e^{a t},\quad K = \pm e^{C_{1}} \\ (\text{constante determinada por }y_{0}).
Agora isolo y. Multiplicando e resolvendo para y:
y = a \frac{K e^{a t}}{1 + K e^{a t}}.
Podemos reescrever de forma mais conveniente usando a condição y(0)=y_{0}. Em t=0,
\frac{y_{0}}{a-y_{0}} = K.
Substituindo K na expressão de y(t) obtemos a forma explícita usual:
\boxed{\,y(t)=\dfrac{a}{1+\left(\dfrac{a-y_{0}}{y_{0}}\right)e^{-a t}}\quad\text{(para }a\neq 0,\\ y_{0}\neq 0\text{).}\,}
Observações de casos especiais (necessárias na prova):
  • Se y_{0}=0 então y(t)\equiv 0 é solução (equilíbrio).
  • Se y_{0}=a então y(t)\equiv a é solução (equilíbrio).
  • Se a=0 a separação acima dividiu por a, então tratamos a=0 separadamente no passo seguinte.

Passo 5

Caso especial a=0. A equação fica
y'=-y^{2}.
Separável:
\frac{dy}{-y^{2}}=dt \quad\Rightarrow\quad \int -y^{-2}\,dy = \int dt.
Integro:
\frac{1}{y}=t+C.
Aplicando y(0)=y_{0} 1/y_{0}=C. Assim, para y_{0}\neq 0,
\boxed{\,y(t)=\dfrac{1}{t+\dfrac{1}{y_{0}}}\quad\text{(para }a=0,\\ y_{0}\neq 0\text{).}\,}
E se y_{0}=0 então y(t)\equiv 0.
Nota sobre domínio e comportamento: para a=0 e y_{0}>0 a solução é definida para todo t\ge 0 e tende a 0 quando t\to\infty. Para a=0 e y_{0}<0 há um tempo finito t=-1/y_{0}>0 em que o denominador zera e a solução explode (vai para -\infty) — isto é, há blow‑up em tempo finito.

Passo 6

Interpretar o limite \lim_{t\to+\infty} y(t) a partir da solução explícita e da classificação de estabilidade. Vou separar em casos do parâmetro a e da condição inicial y_{0}.
  1. Caso a>0.
  • Se y_{0}=0 então y(t)\equiv 0 e \lim_{t\to\infty}y(t)=0. (Mas 0 é instável: pequenas perturbações positivas levam para a.)
  • Se y_{0}=a então y(t)\equiv a e \lim_{t\to\infty}y(t)=a.
  • Se y_{0}>0 e y_{0}\neq a: da fórmula y(t)=\dfrac{a}{1+\left(\dfrac{a-y_{0}}{y_{0}}\right)e^{-a t}},como t\to\infty temos e^{-a t}\to 0, logo y(t)\to a. Isso coincide com a classificação: y=a é assintoticamente estável, portanto soluções iniciadas com y_{0}>0 tendem para a.
  • Se y_{0}<0: então na fórmula a constante K=\dfrac{y_{0}}{a-y_{0}} é negativa, e existe um tempo finito t^{*}>0 tal que 1+K e^{a t^{*}}=0; nesse instante o denominador zera e a solução tem blow‑up (vai para -\infty). Portanto para y_{0}<0 a solução não existe globalmente para todos t\ge 0 e o limite quando t\to\infty não é aplicável (a solução explode em tempo finito). Conclusão prática: para a>0 e y_{0}>0 temos \lim_{t\to\infty}y(t)=a.
  1. Caso a<0.
  • Se y_{0}=a então y(t)\equiv a e \lim_{t\to\infty}y(t)=a. (Este equilíbrio é instável.)
  • Se y_{0}=0 então y(t)\equiv 0 e \lim_{t\to\infty}y(t)=0.
  • Para y_{0}\neq 0,a a solução explícita (com a<0) é y(t)=\dfrac{a}{1+\left(\dfrac{a-y_{0}}{y_{0}}\right)e^{-a t}}.Note que agora e^{-a t}=e^{|a|t} cresce quando t diminui, mas ao enviar t\to\infty temos e^{-a t}\to 0. Portanto o termo que multiplica e^{-a t} tende a zero e a fração tende a \lim_{t\to\infty} y(t)=\dfrac{a}{1+0}=a\quad\text{?}Atenção: recompute com cuidado: se a<0 então e^{-a t}=e^{|a|t} cresce com t. Errei nesta linha — refaço a análise corretamente: para a<0 temos e^{-a t}=e^{|a|t}\to +\infty quando t\to\infty. Assim o denominador 1+\left(\frac{a-y_{0}}{y_{0}}\right)e^{-a t}fica dominado pelo segundo termo para grandes t, e então y(t) tende a 0. (Outra forma: olhar a forma y(t)=\dfrac{a y_{0}}{y_{0}+(a-y_{0})e^{-a t}}; com a<0, e^{-a t}\to\infty e o denominador cresce, levando y\to 0.)
    Portanto, para a<0 e y_{0}\neq a tem‑se \lim_{t\to\infty} y(t)=0.
  • Conclusão prática: para a<0, o equilíbrio y=0 é atrator global (isto é, \lim_{t\to\infty}y(t)=0 para toda condição inicial y_{0} exceto a trivial y_{0}=a em que a solução permanece no equilíbrio a). Observação: y=a é instável quando a<0.
  1. Caso a=0. Já resolvemos: y'=-y^{2} y(t)=\dfrac{1}{t+1/y_{0}} para y_{0}\neq 0, e y\equiv 0 para y_{0}=0. Assim:
  • Se y_{0}>0 então y(t) é definida para todo t\ge 0 e \lim_{t\to\infty}y(t)=0.
  • Se y_{0}=0 então \lim_{t\to\infty}y(t)=0.
  • Se y_{0}<0 então há blow‑up em tempo finito (o denominador zera para t=-1/y_{0}>0) e não existe limite quando t\to\infty (a solução deixa de existir antes desse limite).
Resumo da relação com (a): os limites coincidem com os pontos estáveis indicados pela linearização quando a solução existe globalmente para t\ge 0. Para a>0 o equilíbrio \,y=a\, atrai soluções com y_{0}>0; para a<0 o equilíbrio \,y=0\, atrai soluções (exceto a solução estacionária y\equiv a). Os casos com y_{0}<0 e a\ge 0 podem levar a explosão em tempo finito (sem limite em +\infty).

Resposta

(a) Os pontos de equilíbrio são y_{*}=0 e y_{*}=a. Para a\neq 0:
  • Se a>0: y_{*}=0 é instável e y_{*}=a é assintoticamente estável.
  • Se a<0: y_{*}=0 é assintoticamente estável e y_{*}=a é instável.
    Se a=0 há único equilíbrio y_{*}=0 (não‑hiperbólico; atrai soluções com y_{0}>0 e repele as com y_{0}<0, sendo portanto semi‑estável).
(b) Solução geral do PVI:
  • Para a\neq 0 e y_{0}\neq 0:
y(t)=\dfrac{a}{1+\left(\dfrac{a-y_{0}}{y_{0}}\right)e^{-a t}}.
  • Casos particulares: se y_{0}=0 então y(t)\equiv 0; se y_{0}=a então y(t)\equiv a.
  • Para a=0 e y_{0}\neq 0:
y(t)=\dfrac{1}{t+\dfrac{1}{y_{0}}},
e se y_{0}=0 então y(t)\equiv 0.
(c) Limites quando t\to+\infty (dependendo de a e y_{0}):
  • a>0: se y_{0}>0 então \displaystyle\lim_{t\to\infty}y(t)=a. Se y_{0}=0 lim = 0. Se y_{0}<0 a solução explode em tempo finito (não existe limite em +\infty).
  • a<0: para todo y_{0}\neq a tem \displaystyle\lim_{t\to\infty}y(t)=0. Se y_{0}=a a solução é a constante a (logo limite a).
  • a=0: se y_{0}>0 ou y_{0}=0 então \displaystyle\lim_{t\to\infty}y(t)=0. Se y_{0}<0 há blow‑up em tempo finito (sem limite em +\infty).

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