Questão 4. (30 pontos) Seja y=f(x)=x+1x+1. Encontre os pontos de máximo e mínimo locais, caso existam, bem como os pontos de inflexão.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem a função $ y = f(x) = \frac{x+1}{x+1} $ e precisa encontrar os pontos de máximo e mínimo locais, se existirem, além dos pontos de inflexão. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas para analisar o comportamento da função.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função que estamos analisando. A função é $ f(x) = \frac{x+1}{x+1} $. Se olharmos bem, o numerador e o denominador são iguais, então fora do ponto onde o denominador é zero, a função simplifica para:
f(x) = x+1x+1
Isso significa que, para todo valor de $ x $ diferente de -1, a função vale 1.

Passo 3

Agora, vamos ver o que acontece quando $ x = -1 $. Se substituirmos na função original:
x = -1
Essa expressão é indefinida, o que significa que a função não está definida em $ x = -1 $. Portanto, a função tem um ponto de descontinuidade nesse ponto específico.

Passo 4

Com a função simplificada para $ f(x) = 1 $ (exceto em $ x = -1 $), podemos analisar seu comportamento. Uma função constante, que vale sempre 1, não tem variação. Isso quer dizer que ela não sobe nem desce, ou seja, não possui máximos ou mínimos locais.

Passo 5

Além disso, como a função é constante, a segunda derivada também será zero. Pontos de inflexão ocorrem onde a concavidade da função muda, mas como a concavidade aqui é sempre a mesma (reta horizontal), não há pontos de inflexão.

Resposta

A função $ y = \frac{x+1}{x+1} $ simplifica-se para $ y = 1 $ para todo $ x $ diferente de -1. Sendo uma função constante, ela não possui pontos de máximo ou mínimo locais, nem pontos de inflexão.

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