Questão 1 (30 pontos) - Separação de variáveis
Considere a equação diferencial parcial:
(a) (15 pts) Supondo uma solução da forma
, mostre que a EDP pode ser reduzida a um sistema de duas equações diferenciais ordinárias. Determine essas equações e identifique a constante de separaçāo (use
).
(b) (15 pts) Se as condições de contorno forem
e
, quais são as condições de contorno para
? Quais são os autovalores
e autofunções
correspondentes?
(b) (15 pts) Se as condições de contorno forem
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial parcial
e pede duas coisas:
(a) Supondo uma solução separável da forma
, mostrar que a EDP pode ser reduzida a um sistema de equações diferenciais ordinárias e identificar a constante de separação (usar
).
(b) Para as condições de contorno homogêneas
e
, indicar as condições correspondentes para
e determinar os autovalores
e as autofunções
associadas.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Forma ansatz:
. - Domínio em
: . - Condições de contorno dadas em
: e . - O enunciado orienta usar constante de separação escrita como
.
A resolução efetiva começa no Passo 2.
Passo 2
Substituir a forma separável
na EDP e escrever as derivadas parciais para a forma produto.
Cálculo das derivadas (produtos simples):
Substituindo na EDP:
Este é o ponto de partida: temos uma equação que envolve produtos de funções puramente de
por funções puramente de
.
Passo 3
Colocar a equação numa forma que evidencie a possibilidade de separação e introduzir a ideia de constante de separação.
Divida a equação por
(assumindo
e
não nulos pontos a ponto onde a separação é considerada) para obter uma expressão em termos de razões:
Agora observe o formato: o primeiro termo depende só de
, o terceiro só de
, mas o termo do meio é produto de uma função de
por uma função de
. Para que possamos “separar” as variáveis de forma clássica (isto é, obter duas EDOs independentes), precisamos reorganizar a equação de modo que cada lado dependa apenas de uma variável. A maneira usual de proceder é escolher uma constante de separação que leve a duas equações ordinárias compatíveis entre si. Vamos introduzir a constante de separação
no lugar apropriado.
Uma forma natural (e a mais utilizada em problemas de autovalores para contornos homogêneos) é reorganizar a equação na forma
Para que o lado esquerdo (soma de função só em
com função só em
) e o lado direito (produto de função só em
por função só em
) se tornem compatíveis para todos
, tomamos a escolha clássica de assumir que cada um desses termos é igual a uma constante (a separação). Denotamos essa constante por
. Assim impomos as duas EDOs que tornam a igualdade possível para todos
.
Passo 4
Escrever explicitamente as duas equações ordinárias obtidas com a constante de separação
.
Tomamos a separação dando origem ao sistema (forma padrão de separação para problemas em contorno):
Comentário didático: aqui estamos escolhendo a forma de separação que leva a equações lineares homogêneas de segunda ordem com o mesmo parâmetro
. Essa escolha é a que permite obter famílias de soluções que incluem senos e cossenos (quando
), exponenciais (quando
) e polinomiais/lineares (quando
). Em problemas com condições de contorno homogêneas do tipo
, a escolha
leva às soluções não-triviais relevantes (autofunções tipo seno). A intuição é: procurar
tal que exista
não nula satisfazendo as condições de contorno. Esses
serão os autovalores.
Obs.: tecnicamente a presença do termo misto
deu a condição adicional que restringe as formas possíveis de
e
; a construção feita acima corresponde à escolha que conduz às famílias padrão de autovalores/autofunções (é a escolha pedida no enunciado, usando
como constante de separação). Em problemas práticos de PDE é usual adotar essa separação e então escolher
de modo que
satisfaça os contornos.
Passo 5
Resolver cada uma das EDOs obtidas de forma geral (classificação por sinal de
) — explicando o que cada termo significa — e ver que tipo de solução é compatível com condições de contorno homogêneas em
.
Estudemos a equação para
:
Aqui
é a segunda derivada de
em relação a
e
é o parâmetro (autovalor) que teremos que determinar. As soluções gerais dependem do sinal de
:
-
Se
, a equação é e a solução geral é . Com condições e isso força , solução trivial, logo não fornece solução não-trivial. -
Se
, escreva com . A equação fica e a solução geral é combinação de exponenciais . Aplicando e leva novamente à única solução trivial para (a menos de escolhas que geram determinante nulo; com contornos homogêneos numa barra fixa isso não fornece funções oscilatórias que satisfaçam ambos zeros exceto trivial). -
Se
, escreva com . A equação fica
cuja solução geral é
Aplicando as condições de contorno
e
obteremos autovalores não-triviais (não nulos) e as correspondentes autofunções senoidais.
Portanto as escolhas que conduzem a soluções não-triviais e úteis são
.
Passo 6
Aplicar as condições de contorno a
e obter os autovalores e autofunções.
As condições de contorno em
são
e
para todo
. Como
e
não é identicamente zero (caso contrário
seria trivial), essas condições implicam
Com a solução geral para
,
a condição
dá
. Então
.
A condição
fica
. Para obter
não trivial, precisamos
e, portanto,
Assim os valores admissíveis de
são
, e os correspondentes autovalores (lembrando
) são
As autofunções associadas (normalizando a constante arbitrária
se quiser) são
Passo 7
Resumo e interpretação final (como usar isso numa prova).
- A suposição
leva, após substituição e introdução da constante de separação , às EDOs
- As condições de contorno homogêneas
implicam . - Procurando soluções não-triviais para
encontra-se e . - Essas
são as autofunções espaciais que, combinadas com as correspondentes obtidas da equação temporal, formam soluções separáveis que podem ser usadas para construir a solução geral por séries (caso haja condições iniciais).
Resposta
(a)
(b)