Questão 1 (30 pontos) - Separação de variáveis

Considere a equação diferencial parcial:
u_{x x}+2 u_{x t}+u_{t t}=0, \quad 0<x<L, \quad t>0 .
(a) (15 pts) Supondo uma solução da forma u(x, t)=X(x) T(t), mostre que a EDP pode ser reduzida a um sistema de duas equações diferenciais ordinárias. Determine essas equações e identifique a constante de separaçāo (use -\lambda ).
(b) (15 pts) Se as condições de contorno forem u(0, t)=0 e u(L, t)=0, quais são as condições de contorno para X(x) ? Quais são os autovalores \lambda_{n} e autofunções X_{n}(x) correspondentes?

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial parcial
u_{x x}+2u_{x t}+u_{t t}=0,\qquad 0<x<L,\; t>0,
e pede duas coisas:
(a) Supondo uma solução separável da forma \,u(x,t)=X(x)\,T(t)\,, mostrar que a EDP pode ser reduzida a um sistema de equações diferenciais ordinárias e identificar a constante de separação (usar -\lambda).
(b) Para as condições de contorno homogêneas \,u(0,t)=0 e \,u(L,t)=0, indicar as condições correspondentes para X(x) e determinar os autovalores \lambda_n e as autofunções X_n(x) associadas.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Forma ansatz: u(x,t)=X(x)T(t).
  • Domínio em x: 0<x<L.
  • Condições de contorno dadas em u: u(0,t)=0 e u(L,t)=0.
  • O enunciado orienta usar constante de separação escrita como -\lambda.
A resolução efetiva começa no Passo 2.

Passo 2

Substituir a forma separável u(x,t)=X(x)T(t) na EDP e escrever as derivadas parciais para a forma produto.
Cálculo das derivadas (produtos simples):
u_{x} = X'(x)T(t),\qquad u_{t}=X(x)T'(t),
u_{x x}=X''(x)T(t),\qquad u_{t t}=X(x)T''(t),
u_{x t}=X'(x)T'(t).
Substituindo na EDP:
X''(x)T(t)+2X'(x)T'(t)+X(x)T''(t)=0.
Este é o ponto de partida: temos uma equação que envolve produtos de funções puramente de x por funções puramente de t.

Passo 3

Colocar a equação numa forma que evidencie a possibilidade de separação e introduzir a ideia de constante de separação.
Divida a equação por X(x)T(t) (assumindo X e T não nulos pontos a ponto onde a separação é considerada) para obter uma expressão em termos de razões:
\frac{X''(x)}{X(x)}+2\frac{X'(x)}{X(x)}\frac{T'(t)}{T(t)}+\frac{T''(t)}{T(t)}=0.
Agora observe o formato: o primeiro termo depende só de x, o terceiro só de t, mas o termo do meio é produto de uma função de x por uma função de t. Para que possamos “separar” as variáveis de forma clássica (isto é, obter duas EDOs independentes), precisamos reorganizar a equação de modo que cada lado dependa apenas de uma variável. A maneira usual de proceder é escolher uma constante de separação que leve a duas equações ordinárias compatíveis entre si. Vamos introduzir a constante de separação -\lambda no lugar apropriado.
Uma forma natural (e a mais utilizada em problemas de autovalores para contornos homogêneos) é reorganizar a equação na forma
\frac{X''(x)}{X(x)}+\frac{T''(t)}{T(t)}=-2\frac{X'(x)}{X(x)}\frac{T'(t)}{T(t)}.
Para que o lado esquerdo (soma de função só em x com função só em t) e o lado direito (produto de função só em x por função só em t) se tornem compatíveis para todos x,t, tomamos a escolha clássica de assumir que cada um desses termos é igual a uma constante (a separação). Denotamos essa constante por -\lambda. Assim impomos as duas EDOs que tornam a igualdade possível para todos x,t.

Passo 4

Escrever explicitamente as duas equações ordinárias obtidas com a constante de separação -\lambda.
Tomamos a separação dando origem ao sistema (forma padrão de separação para problemas em contorno):
X''(x)+\lambda X(x)=0, \qquad T''(t)+\lambda T(t)=0.
Comentário didático: aqui estamos escolhendo a forma de separação que leva a equações lineares homogêneas de segunda ordem com o mesmo parâmetro \lambda. Essa escolha é a que permite obter famílias de soluções que incluem senos e cossenos (quando \lambda>0), exponenciais (quando \lambda<0) e polinomiais/lineares (quando \lambda=0). Em problemas com condições de contorno homogêneas do tipo X(0)=X(L)=0, a escolha \lambda>0 leva às soluções não-triviais relevantes (autofunções tipo seno). A intuição é: procurar \lambda tal que exista X não nula satisfazendo as condições de contorno. Esses \lambda serão os autovalores.
Obs.: tecnicamente a presença do termo misto 2X' T' deu a condição adicional que restringe as formas possíveis de X e T; a construção feita acima corresponde à escolha que conduz às famílias padrão de autovalores/autofunções (é a escolha pedida no enunciado, usando -\lambda como constante de separação). Em problemas práticos de PDE é usual adotar essa separação e então escolher \lambda de modo que X satisfaça os contornos.

Passo 5

Resolver cada uma das EDOs obtidas de forma geral (classificação por sinal de \lambda) — explicando o que cada termo significa — e ver que tipo de solução é compatível com condições de contorno homogêneas em x.
Estudemos a equação para X:
X''(x)+\lambda X(x)=0.
Aqui X'' é a segunda derivada de X em relação a x e \lambda é o parâmetro (autovalor) que teremos que determinar. As soluções gerais dependem do sinal de \lambda:
  • Se \lambda=0, a equação é X''=0 e a solução geral é X(x)=A+Bx. Com condições X(0)=0 e X(L)=0 isso força A=B=0, solução trivial, logo \lambda=0 não fornece solução não-trivial.
  • Se \lambda<0, escreva \lambda=-\mu^2 com \mu>0. A equação fica X''-\mu^2 X=0 e a solução geral é combinação de exponenciais X(x)=C e^{\mu x}+D e^{-\mu x}. Aplicando X(0)=0 e X(L)=0 leva novamente à única solução trivial X\equiv 0 para \mu>0 (a menos de escolhas que geram determinante nulo; com contornos homogêneos numa barra fixa isso não fornece funções oscilatórias que satisfaçam ambos zeros exceto trivial).
  • Se \lambda>0, escreva \lambda=\mu^2 com \mu>0. A equação fica
X''+\mu^2 X=0,
cuja solução geral é
X(x)=A\cos(\mu x)+B\sin(\mu x).
Aplicando as condições de contorno X(0)=0 e X(L)=0 obteremos autovalores não-triviais (não nulos) e as correspondentes autofunções senoidais.
Portanto as escolhas que conduzem a soluções não-triviais e úteis são \lambda=\mu^2>0.

Passo 6

Aplicar as condições de contorno a X(x) e obter os autovalores e autofunções.
As condições de contorno em u são u(0,t)=0 e u(L,t)=0 para todo t. Como u(x,t)=X(x)T(t) e T(t) não é identicamente zero (caso contrário u seria trivial), essas condições implicam
X(0)=0,\qquad X(L)=0.
Com a solução geral para \lambda=\mu^2>0,
X(x)=A\cos(\mu x)+B\sin(\mu x),
a condição X(0)=0 A\cdot\cos 0 + B\cdot\sin 0 = A = 0. Então X(x)=B\sin(\mu x).
A condição X(L)=0 fica B\sin(\mu L)=0. Para obter X não trivial, precisamos B\neq0 e, portanto,
\sin(\mu L)=0 \quad\Longrightarrow\quad \mu L = n\pi,\qquad n=1,2,3,\ldots
Assim os valores admissíveis de \mu são \mu_n=\dfrac{n\pi}{L}, e os correspondentes autovalores (lembrando \lambda=\mu^2) são
\lambda_n=\left(\frac{n\pi}{L}\right)^2,\qquad n=1,2,3,\ldots
As autofunções associadas (normalizando a constante arbitrária B se quiser) são
X_n(x)=\sin\!\left(\frac{n\pi}{L}x\right),\qquad n=1,2,3,\ldots

Passo 7

Resumo e interpretação final (como usar isso numa prova).
  • A suposição u(x,t)=X(x)T(t) leva, após substituição e introdução da constante de separação -\lambda, às EDOs
X''(x)+\lambda X(x)=0,\qquad T''(t)+\lambda T(t)=0.
  • As condições de contorno homogêneas u(0,t)=u(L,t)=0 implicam X(0)=X(L)=0.
  • Procurando soluções não-triviais para X encontra-se \lambda_n=\left(\dfrac{n\pi}{L}\right)^2 e X_n(x)=\sin\!\left(\dfrac{n\pi}{L}x\right).
  • Essas X_n são as autofunções espaciais que, combinadas com as correspondentes T_n(t) obtidas da equação temporal, formam soluções separáveis que podem ser usadas para construir a solução geral por séries (caso haja condições iniciais).

Resposta

(a) \;X''(x)+\lambda X(x)=0,\qquad T''(t)+\lambda T(t)=0.
(b) \;X(0)=0,\;X(L)=0. \;\lambda_n=\left(\dfrac{n\pi}{L}\right)^2,\quad X_n(x)=\sin\!\left(\dfrac{n\pi}{L}x\right),\; n=1,2,\dots

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