(a) Resolva a equação diferencial y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}=0.
(b) Usando o método dos coeficientes indeterminados, determine uma solução particular para a equação diferencial
y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}=2 x+5-e^{-2 x}
(c) Determine a solução geral para a equação diferencial do item (b).

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  • (a) Resolver a equação diferencial homogênea \,y^{\prime\prime}+2y^{\prime}=0.
  • (b) Usando o método dos coeficientes indeterminados, encontrar uma solução particular de
y^{\prime\prime}+2y^{\prime}=2x+5-e^{-2x}.
  • (c) Determinar a solução geral da equação do item (b).
Informações dadas que vou usar:
  • A equação é linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
  • A parte não-homogênea é soma de um polinômio 2x+5 e de uma exponencial -e^{-2x}.
    Não vou resolver nada neste passo, apenas listei o que é pedido e os dados.

Passo 2

Resolver a equação homogênea \,y^{\prime\prime}+2y^{\prime}=0.
A técnica padrão: procurar soluções da forma y=e^{rx}. Substituindo na equação homogênea obtemos a equação característica:
r^2+2r=0.
Resolver essa equação algébrica dá as raízes:
r(r+2)=0 \quad\Rightarrow\quad r_1=0,\; r_2=-2.
Como as duas raízes são reais distintas, a solução geral da homogênea é
y_h=C_1 e^{r_1 x}+C_2 e^{r_2 x}=C_1 e^{0\cdot x}+C_2 e^{-2x}=C_1 + C_2 e^{-2x},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

Passo 3

Explicar o método dos coeficientes indeterminados e decidir o ansatz (palpite) para a solução particular.
Regra rápida do método:
  • Para cada termo da parte direita da forma P_m(x)e^{\alpha x} (onde P_m é polinômio de grau m), tenta-se um polinômio de grau m multiplicado por e^{\alpha x}.
  • Se e^{\alpha x} corresponder a uma raiz da equação característica de multiplicidade s, multiplica-se o palpite por x^s.
Na nossa equação a parte direita é 2x+5-e^{-2x}, que é soma de dois termos:
  1. 2x+5: corresponde a P_1(x) com \alpha=0.
    • Como \alpha=0 e r=0 é raiz da característica (com multiplicidade 1), devemos multiplicar o palpite polinomial por x^1. Assim, o palpite para essa parte é x\cdot (Ax+B)=A x^2 + B x.
  2. -e^{-2x}: corresponde a P_0(x)e^{-2x} com \alpha=-2.
    • Como \alpha=-2 é também raiz da característica (raiz r=-2 de multiplicidade 1), devemos multiplicar o palpite por x^1. Assim, o palpite para essa parte é x\cdot C e^{-2x}=C x e^{-2x}.
Somando os palpites: escolhemos
y_p(x)=A x^2 + B x + C x e^{-2x},
onde A,B,C são constantes a determinar.

Passo 4

Calcular y_p^{\prime} e y_p^{\prime\prime} explicitamente, separando as partes polinomial e exponencial para ficar organizado.
Escrevendo y_p = y_{p,\text{poly}} + y_{p,\text{exp}} com y_{p,\text{poly}} = A x^2 + B x e y_{p,\text{exp}} = C x e^{-2x}.
Para a parte polinomial:
y_{p,\text{poly}}' = 2A x + B,\qquad y_{p,\text{poly}}'' = 2A.
Para a parte exponencial usar regra do produto:
Primeira derivada:
y_{p,\text{exp}}' = C\frac{d}{dx}(x e^{-2x}) = C\big(e^{-2x} + x(-2)e^{-2x}\big) = C e^{-2x} - 2C x e^{-2x}.
Segunda derivada:
Derivar y_{p,\text{exp}}':
y_{p,\text{exp}}'' = \frac{d}{dx}\big(C e^{-2x} - 2C x e^{-2x}\big) = C(-2)e^{-2x} -2C\big(e^{-2x} + x(-2)e^{-2x}\big).
Desenvolvendo:
y_{p,\text{exp}}'' = -2C e^{-2x} -2C e^{-2x} +4C x e^{-2x} = -4C e^{-2x} +4C x e^{-2x}.

Passo 5

Agora somar as contribuições para obter y_p''+2y_p'.
Somando as partes:
y_p' = (2A x + B) + (C e^{-2x} -2C x e^{-2x}),
y_p'' = 2A + (-4C e^{-2x} +4C x e^{-2x}).
Logo
y_p'' + 2y_p' = \big[2A\big] + \big[-4C e^{-2x} +4C x e^{-2x}\big] + 2\big[2A x + B + C e^{-2x} -2C x e^{-2x}\big].
Agrupando termos polinomiais e exponenciais separadamente:
Termos polinomiais (em potências de x, sem e^{-2x}):
2A + 2(2A x + B) = 4A x + (2A + 2B).
Termos exponenciais (multiplicados por e^{-2x}):
(-4C +4C x) e^{-2x} + 2(C -2C x) e^{-2x} = \big( -4C +4C x +2C -4C x\big) e^{-2x} = (-2C) e^{-2x}.
Observe que os termos em x e^{-2x} se cancelam — é esperado quando escolhemos corretamente o palpite multiplicado por x.
Portanto
y_p''+2y_p' = 4A x + (2A+2B) -2C e^{-2x}.

Passo 6

Igualar y_p''+2y_p' à parte direita 2x+5-e^{-2x} e determinar A,B,C comparando coeficientes.
Temos a identidade (para todo x):
4A x + (2A+2B) -2C e^{-2x} \equiv 2x + 5 - e^{-2x}.
Comparando coeficiente de x:
4A = 2 \quad\Rightarrow\quad A = \frac{1}{2}.
Comparando termos constantes (parte polinomial):
2A + 2B = 5.
Substituindo A=\tfrac{1}{2}:
2\cdot\frac{1}{2} + 2B = 5 \quad\Rightarrow\quad 1 + 2B = 5 \quad\Rightarrow\quad 2B = 4 \quad\Rightarrow\quad B = 2.
Comparando coeficiente de e^{-2x}:
-2C = -1 \quad\Rightarrow\quad C = \frac{1}{2}.

Passo 7

Escrever a solução particular encontrada substituindo A,B,C.
Assim
y_p(x)=A x^2 + B x + C x e^{-2x} = \frac{1}{2}x^2 + 2x + \frac{1}{2} x e^{-2x}.

Passo 8

Formar a solução geral da equação não-homogênea somando a solução geral da homogênea e a particular:
Da Passo 2 temos y_h=C_1 + C_2 e^{-2x}. Então a solução geral é
y(x)=y_h(x)+y_p(x) = C_1 + C_2 e^{-2x} + \frac{1}{2}x^2 + 2x + \frac{1}{2} x e^{-2x}.
Se quiser, pode deixar combinada a parte em e^{-2x} como \big(C_2 + \tfrac{1}{2}x\big)e^{-2x}, mas a forma acima já é clara e correta.

Resposta

(a) y(x)=C_{1}+C_{2}e^{-2x}
(b) y_{p}(x)=\dfrac{1}{2}x^{2}+2x+\dfrac{1}{2}x e^{-2x}
(c) y(x)=C_{1}+C_{2}e^{-2x}+\dfrac{1}{2}x^{2}+2x+\dfrac{1}{2}x e^{-2x}

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