Questão 1 (30 pontos) - Separação de variáveis
Considere a equação diferencial parcial:
u_{x x}+2 u_{x t}+u_{t t}=0, \quad 0<x<L, \quad t>0 .
(a) (15 pts) Supondo uma solução da forma
u(x, t)=X(x) T(t), mostre que a EDP pode ser reduzida a um sistema de duas equações diferenciais ordinárias. Determine essas equações e identifique a constante de separaçāo (use
-\lambda ).
(b) (15 pts) Se as condições de contorno forem
u(0, t)=0 e
u(L, t)=0, quais são as condições de contorno para
X(x) ? Quais são os autovalores
\lambda_{n} e autofunções
X_{n}(x) correspondentes?