Questão 2 ( 30 pontos) - Um sistema de abastecimento de água de uma pequena cidade foi instalado em 1992, e na época empregou-se uma tubulação nova de ferro fundido com diâmetro de 160 mm e rugosidade absoluta de 0,26 \mathrm{~mm}. Nestas condiçōes, o sistema transportava uma vazão de 18,6 litros/s. Após de 30 anos é realizado um teste de funcionamento em um trecho horizontal do sistema ( L=1000 \mathrm{~m} ), e observa-se um incremento da perda de carga de 25 \% (referente à perda de carga observada trinta anos atrás no mesmo trecho) e uma diminuição da vazão de 10 \%. Determinar a rugosidade absoluta atual do sistema após transcorrido os trinta anos.

Passo 1

O enunciado dá um trecho de tubo horizontal de diâmetro D=0,16 m e comprimento L=1000 m. Na instalação ( 1992) a rugosidade absoluta era \varepsilon_0=0,26 mm e a vazão Q_0=18,6 L/s; após 30 anos a vazão caiu 10 % e a perda de carga aumentou 25 % em relação à original. Vamos usar a equação de Darcy–Weisbach \r
h = f\,\frac{L}{D}\,\frac{V^2}{2g}\r
e a equação de Colebrook para relacionar f, a rugosidade \varepsilon e o número de Reynolds Re.

Passo 2

Calcular a velocidade média inicial V_0 e o número de Reynolds Re_0. \r
A área da seção é \r
A = \frac{\pi D^2}{4} = \frac{\pi\,(0,16)^2}{4}\approx0,0201\\ \text{m}^2,\r
então \r
V_0 = \frac{Q_0}{A} = \frac{0,0186}{0,0201}\approx0,926\\ \text{m/s},\r
e com \nu=1\times10^{-6} m^{2}/s,\r
Re_0 = \frac{V_0\,D}{\nu}\approx\frac{0,926\times0,16}{10^{-6}}\approx1,48\times10^5.

Passo 3

Determinar o fator de atrito inicial f_0 por Swamee–Jain:\r
f_0 = \frac{0,25}{\Bigl[\log_{10}\bigl(\frac{\varepsilon_0/D}{3,7} + \frac{5,74}{Re_0^{0,9}}\bigr)\Bigr]^2}.\r
Aqui \varepsilon_0/D=0,26\,\text{mm}/160\,\text{mm}=1,625\times10^{-3} e Re_0^{0,9}\approx(1,48\times10^5)^{0,9}. Substituindo obtém-se \r
f_0\approx0,0237.

Passo 4

A relação entre as perdas de carga antes ( h_0) e depois ( h_1) é\r
\frac{h_1}{h_0} =\frac{f_1\,(L/D)\,V_1^2/(2g)}{f_0\,(L/D)\,V_0^2/(2g)} =\frac{f_1}{f_0}\Bigl(\frac{V_1}{V_0}\Bigr)^2 =\frac{f_1}{f_0}(0,9)^2=1,25.\r
Logo\r
f_1 = \frac{1,25}{0,9^2}\,f_0\approx1,543\,f_0\approx0,0366.

Passo 5

A nova vazão é Q_1=0,9\,Q_0, logo\r
Re_1 = 0,9\,Re_0\approx1,33\times10^5.

Passo 6

Usar a equação de Colebrook para f_1:\r
\frac{1}{\sqrt{f_1}} = -2\;\log_{10}\!\Bigl(\frac{\varepsilon_1/D}{3,7} + \frac{2,51}{Re_1\sqrt{f_1}}\Bigr).\r
Isolando \varepsilon_1/D:\r
\frac{\varepsilon_1}{D} = 3,7\Bigl[10^{-1/(2\sqrt{f_1})} \;-\;\frac{2,51}{Re_1\sqrt{f_1}}\Bigr].

Passo 7

Substituindo f_1\approx0,0366, Re_1\approx1,33\times10^5 e D=0,16 m:\r
\begin{aligned} \sqrt{f_1}&\approx0,1913, \quad 10^{-1/(2\sqrt{f_1})}=10^{-5,227/2}\approx2,44\times10^{-3},\\\ \frac{2,51}{Re_1\sqrt{f_1}}&\approx9,85\times10^{-5}, \quad \frac{\varepsilon_1}{D}\approx3,7\,(2,44\times10^{-3}-9,85\times10^{-5})\approx8,66\times10^{-3},\\\ \varepsilon_1&=D\,\frac{\varepsilon_1}{D}\approx0,16\times8,66\times10^{-3}\approx1,39\times10^{-3}\,\text{m}. \end{aligned}

Resposta

A rugosidade absoluta atual do sistema é aproximadamente 1,39 mm.

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