Uma tubulação circular de concreto (coeficiente de rugosidade de Manning n=0,013 ) é utilizada para o transporte de efluentes, com diâmetro interno de 1,0 metro, declividade de 0,4233 % e vazão de 850 \mathrm{~L} / \mathrm{s}.
Determine a altura crítica do escoamento ( y c ) nesta seção.

Passo 1

O enunciado descreve um escoamento livre em uma tubulação circular de concreto com diâmetro interno D=1{,}0\\ \mathrm{m} (logo raio R=D/2=0{,}5\\ \mathrm{m}), declividade irrelevante para o cálculo de altura crítica, coeficiente de Manning n=0{,}013 e vazão Q=850\\ \mathrm{L/s}=0{,}85\\ \mathrm{m^3/s}. O conteúdo aqui é o cálculo da profundidade crítica y_c, que é a profundidade para a qual o número de Froude é igual a 1, ou seja, o ponto em que
\frac{Q^2\,T(y)}{g\,A(y)^3} = 1,
sendo A(y) a área molhada e T(y) a largura de boeira, funções da profundidade y.

Passo 2

Para um escoamento parcial em seção circular define-se o ângulo central 2\theta vinculado à profundidade y pela relação
y = R\bigl(1 - \cos\theta\bigr),
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\theta = \operatorname{arccos}\bigl(1 - y/R\bigr).
A área da seção molhada é
A(y) = R^2\Bigl(\theta - \tfrac{1}{2}\sin 2\theta\Bigr),
e a largura de boeira (comprimento da superfície livre) é
T(y) = 2\,R\,\theta.

Passo 3

A condição de criticidade requer
Q^2\,T(y_c) = g\,\bigl[A(y_c)\bigr]^3.
Substituindo Q=0{,}85, g=9{,}81 e as expressões de A(y) e T(y), obtemos uma equação em y_c que deve ser resolvida numericamente.

Passo 4

Fazendo tentativas sucessivas (método do encadeamento simples) no intervalo 0{,}5<y<1{,}0 m, obtemos aproximadamente
y_c \approx 0{,}62\\ \mathrm{m},
pois para y=0{,}62 m calculamos
\theta\approx1{,}816,\quad A\approx0{,}512\\ \mathrm{m^2},\quad T\approx1{,}816\\ \mathrm{m},
e verifica-se
Q^2T \approx 1{,}312,\qquad g\,A^3 \approx1{,}320,
muito próximo, confirmando y_c\simeq0{,}62\\ \mathrm{m}.

Resposta

A profundidade crítica nesta seção circular é aproximadamente
y_c \approx 0{,}62\\ \mathrm{m}.

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