Questão 1. (30 pontos) Use o método dos coeficientes indeterminados para encontrar a solução geral da seguinte EDO não-homogênea
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem:
Isso faz parte da matéria de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs). Para resolver, vamos usar o método dos coeficientes indeterminados, que nos ajuda a encontrar a solução geral da equação não-homogênea.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a solução geral da equação homogênea associada, que é:
Resolvemos a equação característica:
Então, a solução geral da homogênea é:
Aqui,
e
são constantes que determinamos com base nas condições iniciais.
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
Como o lado direito é
, assumimos uma solução particular da forma:
Onde
é uma constante que precisamos determinar.
Passo 4
Calculamos as derivadas de
:
Substituindo na equação original:
Simplificando:
Então:
Passo 5
Portanto, a solução particular é:
Passo 6
Finalmente, a solução geral da EDO é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: