Questão 1. (30 pontos) Use o método dos coeficientes indeterminados para encontrar a solução geral da seguinte EDO não-homogênea
y^prime prime(t)-4 y(t)=e^t

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem:
y''(t) - 4 y(t) = e^t
Isso faz parte da matéria de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs). Para resolver, vamos usar o método dos coeficientes indeterminados, que nos ajuda a encontrar a solução geral da equação não-homogênea.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a solução geral da equação homogênea associada, que é:
y''(t) - 4 y(t) = 0
Resolvemos a equação característica:
r^2 - 4 = 0 implies r = pm 2
Então, a solução geral da homogênea é:
yh(t) = C1 e^2t + C2 e^-2t
Aqui, e são constantes que determinamos com base nas condições iniciais.

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
y''(t) - 4 y(t) = e^t
Como o lado direito é yp(t) = A e^t , assumimos uma solução particular da forma:
Onde é uma constante que precisamos determinar.

Passo 4

Calculamos as derivadas de yp'(t) = A e^t :
yp''(t) = A e^t
A e^t - 4 A e^t = e^t
Substituindo na equação original:
-3 A e^t = e^t
Simplificando:
-3 A = 1 implies A = -13
Então:

Passo 5

Portanto, a solução particular é:
yp(t) = -13 e^t

Passo 6

Finalmente, a solução geral da EDO é a soma da solução homogênea com a solução particular:
y(t) = yh(t) + yp(t) = C1 e^2t + C2 e^-2t - 13 e^t

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(t) = C1 e^2t + C2 e^-2t - 13 e^t

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