Questão 3. (35 pontos) Um bloco cúbico de lado l e densidade de massa por unidade de volume rho está flutuando em um fluido com densidade de massa por unidade de volume rho0, onde rho0>rho. Se o bloco é mergulhado ligeiramente e depois solto, ele oscila na posição vertical. Supondo que se pode desprezar o amortecimento viscoso do fluido e a resistência do ar, a profundidade do corpo imersa no fluido, y(t), resolve a seguinte EDO
y^prime prime(t)+(rho0 grho ell) y(t)=g
Deduza a equação diferencial do movimento (10 pontos extras).
Sugestão: Use o princípio de Arquimedes: Um objeto completa ou parcialmente submerso em um fluido sofre a ação de uma força empurrando-o para cima (empuxo) de módulo igual ao peso do fluido deslocado.
y^prime prime+p(t) y^prime+q(t) y=r(t), Y(t)=integral0^t |ll y1(s) & y2(s) y1(t) & y2(t) ||ll y1(s) & y2(s) y1^prime(s) & y2^prime(s) | r(s) d s

Passo 1

O enunciado pede pra derivar a equação que descreve as oscilações verticais de um bloco cúbico de lado ell e densidade rho flutuando em um fluido de densidade rho0>rho. O conteúdo principal é aplicar a Segunda Lei de Newton e o Princípio de Arquimedes para escrever a EDO do movimento.

Passo 2

Primeiro, identifique as forças atuantes no bloco: o peso para baixo e o empuxo para cima. A massa do bloco é dado por m=rho,ell^3, o peso é P=m,g=rho,ell^3,g e o empuxo, segundo Arquimedes, é igual ao peso do fluido deslocado, isto é, E=rho0,g,Vsub, onde o volume submerso é Vsub=ell^2,y.

Passo 3

Aplique a Segunda Lei de Newton no eixo vertical (tomando o sentido positivo para cima):
m,y''=E-P
Substituindo m, E e P:
rho,ell^3,y''=rho0,g,ell^2,y-rho,ell^3,g
Agora divida toda a equação por rho,ell^3:
Isso dá
y''=rho0,g,ell^2rho,ell^3,y-rho,ell^3,grho,ell^3 =rho0,grho,ell,y-g
Reorganizando os termos para a forma padrão da EDO não homogênea:
Obtemos a equação diferencial do movimento
y''+rho0,grho,ell,y=g

Resposta

A equação diferencial do movimento é
y''+rho0,grho,ell,y=g

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