Questão 3. (35 pontos) Um bloco cúbico de lado l e densidade de massa por unidade de volume está flutuando em um fluido com densidade de massa por unidade de volume , onde . Se o bloco é mergulhado ligeiramente e depois solto, ele oscila na posição vertical. Supondo que se pode desprezar o amortecimento viscoso do fluido e a resistência do ar, a profundidade do corpo imersa no fluido, , resolve a seguinte EDO
Deduza a equação diferencial do movimento (10 pontos extras).
Sugestão: Use o princípio de Arquimedes: Um objeto completa ou parcialmente submerso em um fluido sofre a ação de uma força empurrando-o para cima (empuxo) de módulo igual ao peso do fluido deslocado.
Passo 1
O enunciado pede pra derivar a equação que descreve as oscilações verticais de um bloco cúbico de lado ell e densidade rho flutuando em um fluido de densidade rho0>rho. O conteúdo principal é aplicar a Segunda Lei de Newton e o Princípio de Arquimedes para escrever a EDO do movimento.
Passo 2
Primeiro, identifique as forças atuantes no bloco: o peso para baixo e o empuxo para cima. A massa do bloco é dado por m=rho,ell^3, o peso é P=m,g=rho,ell^3,g e o empuxo, segundo Arquimedes, é igual ao peso do fluido deslocado, isto é, E=rho0,g,Vsub, onde o volume submerso é Vsub=ell^2,y.
Passo 3
Aplique a Segunda Lei de Newton no eixo vertical (tomando o sentido positivo para cima):