Questão 31
Sabendo que
e
, o valor da soma
é:
(A) 0
(B) 1
(C)
(D)
(E)
(A) 0
(B) 1
(C)
(D)
(E)
Passo 1
O enunciado dá as potências básicas do número imaginário e pede a soma
Informações fornecidas:
-
, , , . - A soma é a sequência de potências de
para .
O que é pedido: calcular o valor numérico dessa soma (há alternativas de resposta).
Passo 2
Observação útil e fórmula que vou usar: a soma de uma progressão geométrica finita com razão
e primeiros
termos é
Breve demonstração desta fórmula (para fixar): multiplica-se a soma por
e subtrai-se da soma original; os termos intermediários se cancelam e sobra a relação que leva à fórmula acima. Aqui podemos usar essa fórmula com
e
.
Passo 3
Aplicando a fórmula com
e
, a soma
vale
Como
, temos
Agora simplifico
. Observando que
, obtemos
Portanto
Passo 4
Para calcular
é útil obter potências menores e usá‑las. Primeiro:
Então
.
Passo 5
Usando
, temos
Agora uso o ciclo das potências de
:
, logo
. Assim
Passo 6
Multiplicando por mais um fator
obtemos
:
Faço a multiplicação passo a passo:
Portanto
Passo 7
Volto à expressão de
:
Chamo
e multiplico
explicitamente. Primeiro escrevo
em forma separada:
Agora multiplico
por essa soma:
Faço a multiplicação termo a termo:
Simplifico cada termo:
. Reagrupando parte real e imaginária:
- Parte real:
. - Parte imaginária:
.
Logo
Resposta
(E)