Questão 31

Sabendo que i^{0}=1, i^{1}=i, i^{2}=-1 e i^{3}=-i, o valor da soma (1+i)+(1+i)^{2}+(1+i)^{3}+\ldots+(1+i)^{51} é:
(A) 0
(B) 1
(C) 2^{26} \cdot \mathrm{i}
(D) -2^{26} \cdot \mathrm{i}
(E) -1+\left(1+2^{26}\right) \cdot \mathrm{i}

Passo 1

O enunciado dá as potências básicas do número imaginário e pede a soma
(1+\mathrm{i})+(1+\mathrm{i})^{2}+(1+\mathrm{i})^{3}+\ldots+(1+\mathrm{i})^{51}.
Informações fornecidas:
  • \mathrm{i}^{0}=1, \mathrm{i}^{1}=\mathrm{i}, \mathrm{i}^{2}=-1, \mathrm{i}^{3}=-\mathrm{i}.
  • A soma é a sequência de potências de (1+\mathrm{i}) para k=1,2,\ldots,51.
    O que é pedido: calcular o valor numérico dessa soma (há alternativas de resposta).

Passo 2

Observação útil e fórmula que vou usar: a soma de uma progressão geométrica finita com razão r\neq 1 e primeiros N termos é
\sum_{k=1}^{N} r^{k} = r\frac{r^{N}-1}{r-1}.
Breve demonstração desta fórmula (para fixar): multiplica-se a soma por r e subtrai-se da soma original; os termos intermediários se cancelam e sobra a relação que leva à fórmula acima. Aqui podemos usar essa fórmula com r=(1+\mathrm{i}) e N=51.

Passo 3

Aplicando a fórmula com r=(1+\mathrm{i}) e N=51, a soma S vale
S=\sum_{k=1}^{51}(1+\mathrm{i})^{k}=(1+\mathrm{i})\frac{(1+\mathrm{i})^{51}-1}{(1+\mathrm{i})-1}.
Como (1+\mathrm{i})-1=\mathrm{i}, temos
S=(1+\mathrm{i})\frac{(1+\mathrm{i})^{51}-1}{\mathrm{i}}.
Agora simplifico \dfrac{1+\mathrm{i}}{\mathrm{i}}. Observando que \dfrac{1}{\mathrm{i}}=-\mathrm{i}, obtemos
\frac{1+\mathrm{i}}{\mathrm{i}}=\frac{1}{\mathrm{i}}+\frac{\mathrm{i}}{\mathrm{i}}=-\mathrm{i}+1=1-\mathrm{i}.
Portanto
S=(1-\mathrm{i})\bigl((1+\mathrm{i})^{51}-1\bigr).

Passo 4

Para calcular (1+\mathrm{i})^{51} é útil obter potências menores e usá‑las. Primeiro:
(1+\mathrm{i})^{2}=1+2\mathrm{i}+\mathrm{i}^{2}=1+2\mathrm{i}-1=2\mathrm{i}.
Então (1+\mathrm{i})^{2}=2\mathrm{i}.

Passo 5

Usando (1+\mathrm{i})^{2}=2\mathrm{i}, temos
(1+\mathrm{i})^{50}=\bigl((1+\mathrm{i})^{2}\bigr)^{25}=(2\mathrm{i})^{25}=2^{25}\mathrm{i}^{25}.
Agora uso o ciclo das potências de \mathrm{i}: \mathrm{i}^{4}=1, logo \mathrm{i}^{25}=\mathrm{i}^{4\cdot6+1}=\mathrm{i}. Assim
(1+\mathrm{i})^{50}=2^{25}\mathrm{i}.

Passo 6

Multiplicando por mais um fator (1+\mathrm{i}) obtemos (1+\mathrm{i})^{51}:
(1+\mathrm{i})^{51}=(1+\mathrm{i})^{50}(1+\mathrm{i})=2^{25}\mathrm{i}(1+\mathrm{i}).
Faço a multiplicação passo a passo:
2^{25}\mathrm{i}(1+\mathrm{i})=2^{25}\bigl(\mathrm{i}+\mathrm{i}^{2}\bigr)=2^{25}\bigl(\mathrm{i}-1\bigr)=2^{25}(-1+\mathrm{i}).
Portanto
(1+\mathrm{i})^{51}=2^{25}(-1+\mathrm{i}).

Passo 7

Volto à expressão de S:
S=(1-\mathrm{i})\bigl((1+\mathrm{i})^{51}-1\bigr)=(1-\mathrm{i})\bigl(2^{25}(-1+\mathrm{i})-1\bigr).
Chamo A=2^{25}(-1+\mathrm{i})-1 e multiplico (1-\mathrm{i})A explicitamente. Primeiro escrevo A em forma separada:
A=-2^{25}+2^{25}\mathrm{i}-1=-(2^{25}+1)+2^{25}\mathrm{i}.
Agora multiplico (1-\mathrm{i}) por essa soma:
(1-\mathrm{i})\bigl(-(2^{25}+1)+2^{25}\mathrm{i}\bigr).
Faço a multiplicação termo a termo:
\begin{aligned} (1-\mathrm{i})\bigl(-(2^{25}+1)+2^{25}\mathrm{i}\bigr) &= (1)\cdot\bigl(-(2^{25}+1)+2^{25}\mathrm{i}\bigr) + (-\mathrm{i})\cdot\bigl(-(2^{25}+1)+2^{25}\mathrm{i}\bigr)\\\ &= -(2^{25}+1)+2^{25}\mathrm{i} + \mathrm{i}(2^{25}+1) -\mathrm{i}\cdot 2^{25}\mathrm{i}. \end{aligned}
Simplifico cada termo: -\mathrm{i}\cdot 2^{25}\mathrm{i}=-2^{25}\mathrm{i}^{2}=-2^{25}(-1)=2^{25}. Reagrupando parte real e imaginária:
  • Parte real: -(2^{25}+1)+2^{25} = -1.
  • Parte imaginária: 2^{25}+(2^{25}+1)=2^{26}+1.
    Logo
S=-1+(2^{26}+1)\mathrm{i}.

Resposta

(E) -1+\left(1+2^{26}\right)\cdot \mathrm{i}

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