Questão 33
Sabendo-se que:
, podemos afirmar que:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Passo 1
O enunciado nos dá a equação
e pede que se escolha qual das alternativas abaixo é verdadeira:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(B)
(C)
(D)
(E)
Informações relevantes dadas: a igualdade algébrica envolvendo funções trigonométricas
e
de
. Pressupõe-se que os denominadores usados existem (isto é,
e
).
Passo 2
Vamos expandir o quadrado do lado esquerdo e igualar ao lado direito. Primeiro escrevo a expansão:
Pela igualdade dada, isso deve ser igual a
. Portanto:
Passo 3
Agrupamos termos levando tudo para um lado:
Agora usamos identidades trigonométricas básicas (vou explicá-las rapidamente):
-
e . -
-
Aplicando essas simplificações termo a termo:
que se simplifica para
Passo 4
Para eliminar denominadores, multiplico toda a equação por
(lembrando que
foi assumido):
Observe que
. Assim a equação fica
Isso é um quadrado perfeito; escrevendo como tal:
Passo 5
Da igualdade anterior segue que o fator dentro do quadrado é zero:
Isolando
:
Usando
e escrevendo de forma equivalente:
Passo 6
Comparando com as alternativas do enunciado, a alternativa (A) afirma exatamente
que é a mesma expressão que encontramos.
Resposta
(A)