Questão 33

Sabendo-se que: \left[\frac{\operatorname{tg} a}{\operatorname{sen} x}-\frac{\operatorname{tg} b}{\operatorname{tg} x}\right]^{2}=\operatorname{tg}^{2} a-\operatorname{tg}^{2} b, podemos afirmar que:
(A) \cos x=\operatorname{ctg} a \cdot \operatorname{tg} b
(B) \cos x=\frac{\operatorname{ctg} a}{\operatorname{tg} b}
(C) \operatorname{sen} x=\operatorname{tg} a \cdot \operatorname{ctg} b
(D) \operatorname{sen} x=\frac{\operatorname{tg} a}{\operatorname{ctg} b}
(E) \operatorname{sen} x=\operatorname{tg}^{2} a-\operatorname{tg}^{2} b

Passo 1

O enunciado nos dá a equação
\left[\frac{\tan a}{\sin x}-\frac{\tan b}{\tan x}\right]^{2}=\tan^{2}a-\tan^{2}b,
e pede que se escolha qual das alternativas abaixo é verdadeira:
(A) \cos x=\operatorname{ctg} a\cdot\operatorname{tg} b
(B) \cos x=\dfrac{\operatorname{ctg} a}{\operatorname{tg} b}
(C) \operatorname{sen} x=\operatorname{tg} a\cdot\operatorname{ctg} b
(D) \operatorname{sen} x=\dfrac{\operatorname{tg} a}{\operatorname{ctg} b}
(E) \operatorname{sen} x=\operatorname{tg}^{2}a-\operatorname{tg}^{2}b
Informações relevantes dadas: a igualdade algébrica envolvendo funções trigonométricas \tan,\sin e \tan de a,b,x. Pressupõe-se que os denominadores usados existem (isto é, \sin x\neq 0 e \tan x\neq 0).

Passo 2

Vamos expandir o quadrado do lado esquerdo e igualar ao lado direito. Primeiro escrevo a expansão:
\left(\frac{\tan a}{\sin x}-\frac{\tan b}{\tan x}\right)^{2} = \frac{\tan^{2}a}{\sin^{2}x} - 2\frac{\tan a\;\tan b}{\sin x\,\tan x} + \frac{\tan^{2}b}{\tan^{2}x}.
Pela igualdade dada, isso deve ser igual a \tan^{2}a-\tan^{2}b. Portanto:
\frac{\tan^{2}a}{\sin^{2}x} - 2\frac{\tan a\;\tan b}{\sin x\,\tan x} + \frac{\tan^{2}b}{\tan^{2}x} = \tan^{2}a-\tan^{2}b.

Passo 3

Agrupamos termos levando tudo para um lado:
\frac{\tan^{2}a}{\sin^{2}x}-\tan^{2}a \;+\; \frac{\tan^{2}b}{\tan^{2}x}+\tan^{2}b \;-\; 2\frac{\tan a\;\tan b}{\sin x\,\tan x}=0.
Agora usamos identidades trigonométricas básicas (vou explicá-las rapidamente):
  • \tan y=\dfrac{\sin y}{\cos y} e \cot y=\dfrac{\cos y}{\sin y}.
  • \dfrac{1}{\sin^{2}x}-1=\dfrac{1-\sin^{2}x}{\sin^{2}x}=\dfrac{\cos^{2}x}{\sin^{2}x}=\cot^{2}x.
  • \dfrac{1}{\tan^{2}x}+1=\dfrac{1+\tan^{2}x}{\tan^{2}x}=\dfrac{\operatorname{sec}^{2}x}{\tan^{2}x}=\dfrac{1}{\sin^{2}x}.
Aplicando essas simplificações termo a termo:
\tan^{2}a\left(\frac{1}{\sin^{2}x}-1\right) + \tan^{2}b\left(\frac{1}{\tan^{2}x}+1\right) - 2\frac{\tan a\;\tan b}{\sin x\,\tan x}=0,
que se simplifica para
\tan^{2}a\cot^{2}x + \frac{\tan^{2}b}{\sin^{2}x} - 2\frac{\tan a\;\tan b}{\sin x\,\tan x}=0.

Passo 4

Para eliminar denominadores, multiplico toda a equação por \sin^{2}x (lembrando que \sin x\neq 0 foi assumido):
\tan^{2}a\cos^{2}x + \tan^{2}b - 2\tan a\;\tan b\cos x = 0.
Observe que \tan^{2}a\cos^{2}x=(\tan a\cos x)^{2}. Assim a equação fica
(\tan a\cos x)^{2} - 2(\tan a\cos x)(\tan b) + (\tan b)^{2}=0.
Isso é um quadrado perfeito; escrevendo como tal:
\big(\tan a\cos x - \tan b\big)^{2}=0.

Passo 5

Da igualdade anterior segue que o fator dentro do quadrado é zero:
\tan a\cos x - \tan b = 0 \quad\Rightarrow\quad \tan a\cos x = \tan b.
Isolando \cos x:
\cos x = \frac{\tan b}{\tan a}.
Usando \cot a=\dfrac{1}{\tan a} e escrevendo de forma equivalente:
\cos x = \tan b\cdot\cot a.

Passo 6

Comparando com as alternativas do enunciado, a alternativa (A) afirma exatamente
\cos x=\operatorname{ctg} a\cdot\operatorname{tg} b,
que é a mesma expressão que encontramos.

Resposta

(A)

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