Questão 32. O algarismo das unidades do número 1 \times 3 \times 5 \times \ldots \times 97 \times 99 é
a) 1
b) 3
c) 5
d) 7

Passo 1

O enunciado pede: qual é o algarismo das unidades do produto 1 \times 3 \times 5 \times \ldots \times 97 \times 99?\n
Informações relevantes dadas:
  • Estamos multiplicando todos os números ímpares de 1 a 99.
  • A pergunta é apenas sobre o algarismo das unidades do produto (ou seja, o resto da divisão por 10).

Passo 2

Vamos observar os primeiros fatores e ver o que acontece com o algarismo das unidades ao multiplicar:
1\times3=3
3\times5=15
Depois de multiplicar por 5 já obtemos um produto que termina em 5. Notei isso calculando os primeiros passos explicitamente para ter um ponto de partida.

Passo 3

Agora preciso mostrar uma propriedade útil (é a ideia-chave que você pode usar na prova): depois que um produto termina em 5, multiplicá‑lo por outro número ímpar não altera o algarismo das unidades — ele continua sendo 5. Vou provar isso algebraicamente, para ficar rigoroso e fácil de aplicar em outros exercícios.
Se um número termina em 5, podemos escrevê‑lo como 10k+5 para algum inteiro k. Se multiplicarmos por um número ímpar, podemos escrever esse ímpar como 2m+1 para algum inteiro m. Então
(10k+5)(2m+1)=20km+10k+10m+5=10(2km+k+m)+5.
O que isso significa? O produto é 10(\text{o inteiro})+5, ou seja, termina em 5. Portanto, multiplicar um número que termina em 5 por qualquer número ímpar mantém o algarismo das unidades igual a 5.

Passo 4

Voltemos ao nosso produto completo. Ao multiplicar os primeiros fatores obtivemos um produto que termina em 5 (veja o Passo 2). Todos os fatores restantes em 1,3,5,\dots,99 são ímpares — não há nenhum fator par. Pelo argumento do Passo 3, cada vez que multiplicarmos esse número que termina em 5 por outro ímpar, o algarismo das unidades permanece 5.
Logo, ao final de multiplicar todos os ímpares até 99, o algarismo das unidades continua sendo 5.

Resposta

c) 5

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