Questão 31. Se
é a fração irredutível equivalente a
o valor de
é igual a:
a) 38
b) 39
c) 40
d) 41
a) 38
b) 39
c) 40
d) 41
Passo 1
O enunciado dá a fração formada pelos dois números decimais periódicos
e
(ou seja,
e
) e pede: se
é a fração irredutível equivalente a
, qual é o valor de
?\n
Informações relevantes listadas:
Informações relevantes listadas:
- Numerador:
. - Denominador:
. - Desejamos achar a fração reduzida
equivalente à razão desses dois números e então calcular .
Passo 2
Transformar um decimal periódico com um único dígito repetido numa fração: ideia e demonstração curta.\n
Se temos (ou seja, o dígito
repete infinitamente), então multiplicando por
aparece
. Subtraindo,
Se temos
Isso significa que, por exemplo,
e
. Esse é um truque padrão que você pode usar na prova: isola a parte periódica, multiplica por potência de
, subtrai e resolve.
Passo 3
Aplicar o método ao numerador
.\n
Escrevemos
Escrevemos
Agora colocamos na forma de fração com denominador comum:
Portanto o numerador é
.
Passo 4
Aplicar o método ao denominador
.\n
Analogamente,
Analogamente,
Portanto o denominador é
.
Passo 5
Formar a razão e simplificar a fração.\n
A fração pedida é
A fração pedida é
Agora reduzimos
. Para achar o máximo divisor comum, podemos usar a divisão:
essa sequência mostra que
. Dividindo numerador e denominador por
,
Então, na forma irredutível,
com
e
.
Passo 6
Calcular
e comentar.\n
Somando,
Somando,
Portanto o valor pedido é
. (Observação: esse é o resultado correto do cálculo direto.)