Questão 31. Se \frac{p}{q} é a fração irredutível equivalente a \frac{6,888 \ldots}{2,444 \ldots} o valor de p+q é igual a:
a) 38
b) 39
c) 40
d) 41

Passo 1

O enunciado dá a fração formada pelos dois números decimais periódicos 6,888\ldots e 2,444\ldots (ou seja, 6.\overline{8} e 2.\overline{4}) e pede: se \dfrac{p}{q} é a fração irredutível equivalente a \dfrac{6,888\ldots}{2,444\ldots}, qual é o valor de p+q?\n
Informações relevantes listadas:
  • Numerador: 6,888\ldots = 6.\overline{8}.
  • Denominador: 2,444\ldots = 2.\overline{4}.
  • Desejamos achar a fração reduzida \dfrac{p}{q} equivalente à razão desses dois números e então calcular p+q.

Passo 2

Transformar um decimal periódico com um único dígito repetido numa fração: ideia e demonstração curta.\n
Se temos r = 0.\overline{d} (ou seja, o dígito d repete infinitamente), então multiplicando por 10 aparece 10r = d.\overline{d}. Subtraindo,
10r - r = d.\overline{d} - 0.\overline{d} \implies 9r = d \implies r = \frac{d}{9}.
Isso significa que, por exemplo, 0.\overline{8} = \dfrac{8}{9} e 0.\overline{4} = \dfrac{4}{9}. Esse é um truque padrão que você pode usar na prova: isola a parte periódica, multiplica por potência de 10, subtrai e resolve.

Passo 3

Aplicar o método ao numerador 6.\overline{8}.\n
Escrevemos
6.\overline{8} = 6 + 0.\overline{8} = 6 + \frac{8}{9}.
Agora colocamos na forma de fração com denominador comum:
6 = \frac{54}{9},\quad 6 + \frac{8}{9} = \frac{54}{9} + \frac{8}{9} = \frac{62}{9}.
Portanto o numerador é \dfrac{62}{9}.

Passo 4

Aplicar o método ao denominador 2.\overline{4}.\n
Analogamente,
2.\overline{4} = 2 + 0.\overline{4} = 2 + \frac{4}{9} = \frac{18}{9}+\frac{4}{9}=\frac{22}{9}.
Portanto o denominador é \dfrac{22}{9}.

Passo 5

Formar a razão e simplificar a fração.\n
A fração pedida é
\frac{6.\overline{8}}{2.\overline{4}}=\frac{\dfrac{62}{9}}{\dfrac{22}{9}}=\frac{62}{9}\cdot\frac{9}{22}=\frac{62}{22}.
Agora reduzimos \dfrac{62}{22}. Para achar o máximo divisor comum, podemos usar a divisão:
62 = 2\cdot 22 + 18,\quad 22 = 1\cdot 18 + 4,\quad 18 = 4\cdot 4 + 2,\quad 4 = 2\cdot 2 + 0,
essa sequência mostra que \gcd(62,22)=2. Dividindo numerador e denominador por 2,
\frac{62}{22}=\frac{31}{11}.
Então, na forma irredutível, \dfrac{p}{q}=\dfrac{31}{11} com p=31 e q=11.

Passo 6

Calcular p+q e comentar.\n
Somando,
p+q=31+11=42.
Portanto o valor pedido é \,42. (Observação: esse é o resultado correto do cálculo direto.)

Resposta

42

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