Questão 36. Um relógio, com ponteiros de horas, minutos e segundos, faz um plim toda vez que um ponteiro ultrapassa o outro no mostrador. O número de plins registrados em um certo dia no período entre 12 horas e 1 segundo e as 23 horas, 59 minutos e 59 segundos é:
a) 732
b) 1438
c) 1440
d) 1446

Passo 1

O enunciado dá um relógio com três ponteiros (hora, minuto, segundo) e diz que ele dá um “plim” sempre que um ponteiro ultrapassa (ou coincide com) outro no mostrador. Pede o número total de plims registrados no intervalo entre 12 horas e 1 segundo e 23 horas, 59 minutos e 59 segundos.
Informações relevantes que vou usar (retiradas do enunciado):
  • Intervalo de tempo: entre 12:00:01 e 23:59:59 (ou seja, praticamente um intervalo de 12 horas, começando logo após as 12:00:00 e terminando logo antes das 24:00:00).
  • Evento contado: cada vez que um ponteiro ultrapassa outro (ou seja, cada coincidência de cada par de ponteiros gera um plim).
    O objetivo final: contar todas as coincidências (ultrapassagens) entre todos os pares de ponteiros no intervalo dado.

Passo 2

Ideia de solução (sem calcular ainda): vamos contar separadamente as ultrapassagens entre cada par de ponteiros e somar:
  • ultrapassagens entre ponteiro dos segundos e o dos minutos;
  • ultrapassagens entre ponteiro dos minutos e o das horas;
  • ultrapassagens entre ponteiro dos segundos e o das horas.
Vou usar a noção de velocidade angular e velocidade relativa: cada ponteiro gira com uma velocidade angular constante (em voltas por segundo). Se dois ponteiros têm velocidades angulares \omega_1 e \omega_2 com \omega_1>\omega_2, então o número de vezes que o ponteiro mais rápido “ultrapassa” o mais lento em um intervalo de duração T é igual a (\omega_1-\omega_2)\,T (em número de voltas relativas), ou seja, a velocidade relativa multiplicada pelo tempo. Vou traduzir isso em valores concretos para cada par.

Passo 3

Calcular as velocidades angulares (em voltas por segundo) de cada ponteiro. Explico cada passo: uma volta completa do mostrador é 1 volta (360°).
  • Ponteiro das horas: dá 1 volta em 12 horas. Como 12 horas =12\cdot3600=43200 segundos, sua velocidade é
\omega_h=\frac{1}{43200}\\ \text{voltas/segundo}.
  • Ponteiro dos minutos: dá 1 volta em 1 hora =3600 segundos, então
\omega_m=\frac{1}{3600}\\ \text{voltas/segundo}.
  • Ponteiro dos segundos: dá 1 volta em 60 segundos, então
\omega_s=\frac{1}{60}\\ \text{voltas/segundo}.
Comentário curto: essas frações significam quantas voltas cada ponteiro faz por segundo — por exemplo, \omega_s=\tfrac{1}{60} significa que o ponteiro de segundos completa uma volta a cada 60 segundos.

Passo 4

Contar ultrapassagens entre minuto e hora.
A velocidade relativa é
\Delta_{m,h}=\omega_m-\omega_h=\frac{1}{3600}-\frac{1}{43200}=\frac{11}{43200}\\ \text{voltas/segundo}.
Isso significa que o ponteiro dos minutos “ganha” \tfrac{11}{43200} voltas por segundo sobre o das horas. Em 12 horas ( 43200 segundos) o número de ultrapassagens (coincidências) será
\Delta_{m,h}\cdot 43200=\frac{11}{43200}\cdot43200=11.
Interpretação prática: em um ciclo completo de 12 horas o ponteiro dos minutos ultrapassa o das horas exatamente 11 vezes. (Se preferir ver como fração de tempo: os encontros ocorrem a cada \tfrac{43200}{11} segundos.)

Passo 5

Contar ultrapassagens entre segundo e minuto.
A velocidade relativa é
\Delta_{s,m}=\omega_s-\omega_m=\frac{1}{60}-\frac{1}{3600}=\frac{59}{3600}\\ \text{voltas/segundo}.
Isso significa que o ponteiro de segundos “ganha” \tfrac{59}{3600} voltas por segundo sobre o dos minutos. Em 1 hora ( 3600 s) o número de ultrapassagens é
\Delta_{s,m}\cdot 3600=\frac{59}{3600}\cdot3600=59.
Em 12 horas são 59 por hora \times 12 horas =59\cdot12=708 ultrapassagens. Em palavras: o ponteiro dos segundos ultrapassa o dos minutos 708 vezes em 12 horas.

Passo 6

Contar ultrapassagens entre segundo e hora.
A velocidade relativa é
\Delta_{s,h}=\omega_s-\omega_h=\frac{1}{60}-\frac{1}{43200}=\frac{719}{43200}\\ \text{voltas/segundo}.
Em 12 horas ( 43200 s) o número de ultrapassagens é
\Delta_{s,h}\cdot 43200=\frac{719}{43200}\cdot43200=719.
Ou seja, o ponteiro dos segundos ultrapassa o das horas 719 vezes em 12 horas.

Passo 7

Somar todas as ultrapassagens em 12 horas:
  • segundos/minutos: 708
  • minutos/horas: 11
  • segundos/horas: 719
Total:
708+11+719=1438.
Interpretação final rápida e motivadora: ao longo de um ciclo de doze horas (do momento em que todos coincidem até o próximo momento em que todos coincidem novamente) ocorrem 1438 ultrapassagens no total — cada ultrapassagem é um “plim”. O enunciado pediu o total entre 12:00:01 e 23:59:59 (praticamente todo o ciclo de doze horas, começando logo após uma coincidência e terminando logo antes da próxima), então o total de plims registrados nesse intervalo é \,1438.

Resposta

b) 1438

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