Questão 36. Um relógio, com ponteiros de horas, minutos e segundos, faz um plim toda vez que um ponteiro ultrapassa o outro no mostrador. O número de plins registrados em um certo dia no período entre 12 horas e 1 segundo e as 23 horas, 59 minutos e 59 segundos é:
a) 732
b) 1438
c) 1440
d) 1446
a) 732
b) 1438
c) 1440
d) 1446
Passo 1
O enunciado dá um relógio com três ponteiros (hora, minuto, segundo) e diz que ele dá um “plim” sempre que um ponteiro ultrapassa (ou coincide com) outro no mostrador. Pede o número total de plims registrados no intervalo entre 12 horas e 1 segundo e 23 horas, 59 minutos e 59 segundos.
Informações relevantes que vou usar (retiradas do enunciado):
Informações relevantes que vou usar (retiradas do enunciado):
- Intervalo de tempo: entre 12:00:01 e 23:59:59 (ou seja, praticamente um intervalo de 12 horas, começando logo após as 12:00:00 e terminando logo antes das 24:00:00).
- Evento contado: cada vez que um ponteiro ultrapassa outro (ou seja, cada coincidência de cada par de ponteiros gera um plim).
O objetivo final: contar todas as coincidências (ultrapassagens) entre todos os pares de ponteiros no intervalo dado.
Passo 2
Ideia de solução (sem calcular ainda): vamos contar separadamente as ultrapassagens entre cada par de ponteiros e somar:
- ultrapassagens entre ponteiro dos segundos e o dos minutos;
- ultrapassagens entre ponteiro dos minutos e o das horas;
- ultrapassagens entre ponteiro dos segundos e o das horas.
Vou usar a noção de velocidade angular e velocidade relativa: cada ponteiro gira com uma velocidade angular constante (em voltas por segundo). Se dois ponteiros têm velocidades angulares
e
com
, então o número de vezes que o ponteiro mais rápido “ultrapassa” o mais lento em um intervalo de duração
é igual a
(em número de voltas relativas), ou seja, a velocidade relativa multiplicada pelo tempo. Vou traduzir isso em valores concretos para cada par.
Passo 3
Calcular as velocidades angulares (em voltas por segundo) de cada ponteiro. Explico cada passo: uma volta completa do mostrador é 1 volta (360°).
- Ponteiro das horas: dá 1 volta em 12 horas. Como
horas segundos, sua velocidade é
- Ponteiro dos minutos: dá 1 volta em 1 hora
segundos, então
- Ponteiro dos segundos: dá 1 volta em 60 segundos, então
Comentário curto: essas frações significam quantas voltas cada ponteiro faz por segundo — por exemplo,
significa que o ponteiro de segundos completa uma volta a cada 60 segundos.
Passo 4
Contar ultrapassagens entre minuto e hora.
A velocidade relativa é
A velocidade relativa é
Isso significa que o ponteiro dos minutos “ganha”
voltas por segundo sobre o das horas. Em 12 horas (
segundos) o número de ultrapassagens (coincidências) será
Interpretação prática: em um ciclo completo de 12 horas o ponteiro dos minutos ultrapassa o das horas exatamente 11 vezes. (Se preferir ver como fração de tempo: os encontros ocorrem a cada
segundos.)
Passo 5
Contar ultrapassagens entre segundo e minuto.
A velocidade relativa é
A velocidade relativa é
Isso significa que o ponteiro de segundos “ganha”
voltas por segundo sobre o dos minutos. Em 1 hora (
s) o número de ultrapassagens é
Em 12 horas são
por hora
horas
ultrapassagens. Em palavras: o ponteiro dos segundos ultrapassa o dos minutos
vezes em 12 horas.
Passo 6
Contar ultrapassagens entre segundo e hora.
A velocidade relativa é
A velocidade relativa é
Em 12 horas (
s) o número de ultrapassagens é
Ou seja, o ponteiro dos segundos ultrapassa o das horas
vezes em 12 horas.
Passo 7
Somar todas as ultrapassagens em 12 horas:
- segundos/minutos:
- minutos/horas:
- segundos/horas:
Total:
Interpretação final rápida e motivadora: ao longo de um ciclo de doze horas (do momento em que todos coincidem até o próximo momento em que todos coincidem novamente) ocorrem
ultrapassagens no total — cada ultrapassagem é um “plim”. O enunciado pediu o total entre 12:00:01 e 23:59:59 (praticamente todo o ciclo de doze horas, começando logo após uma coincidência e terminando logo antes da próxima), então o total de plims registrados nesse intervalo é
.
Resposta
b) 1438