Questão 34. O Departamento de Marketing da empresa resolve premiar 5 \% dos seus vendedores mais eficientes. Um levantamento das vendas individuais por semana mostrou que elas se distribuíam normalmente com média 240.000 u.m. e desvio padrão 30.000 u.m. Qual o volume de vendas mínimo que um vendedor deve realizar para ser premiado?

Passo 1

O enunciado pede que a gente encontre o volume mínimo de vendas que coloca um vendedor entre os 5\% melhores da empresa. Informações dadas:
  • A distribuição das vendas individuais por semana é normal.
  • Média das vendas: \mu = 240000 u.m.
  • Desvio padrão: \sigma = 30000 u.m.
  • Queremos o ponto de corte x_{\text{corte}} tal que apenas 5\% dos vendedores tenham vendas maiores ou iguais a esse valor (isto é, os 5\% mais eficientes).

Passo 2

Explicando o que vamos usar (com calma e passo a passo, sem pular etapas).
  • Quando uma variável aleatória X é normal com média \mu e desvio padrão \sigma, escrevemos \;X\sim N(\mu,\sigma^2)\;.
  • Para facilitar cálculos usamos a padronização: definimos a variável padronizada
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}.
  • A variável Z tem distribuição normal padrão, isto é, média 0 e desvio padrão 1. Isso permite usar tabelas ou a função inversa da normal padrão para converter áreas (percentuais) em valores de Z.
  • Intuição rápida: se Z=1 então X está a um desvio padrão acima da média; se Z=2 está a dois desvios-padrão acima, e assim por diante.

Passo 3

Traduzindo o objetivo em probabilidade e usando padronização.
  • Queremos x_{\text{corte}} tal que
P(X \ge x_{\text{corte}})=0,05.
  • Como a probabilidade total é 1, isso equivale a
P(X \le x_{\text{corte}})=0,95.
  • Padronizando X para Z,
P\!\left(Z \le \frac{x_{\text{corte}}-\mu}{\sigma}\right)=0,95.
  • Ou seja, o quantil de ordem 0,95 da normal padrão nos dá o valor de z tal que
\frac{x_{\text{corte}}-\mu}{\sigma}=z_{0,95}.

Passo 4

Encontrando z_{0,95}.
  • z_{0,95} é o valor da normal padrão cuja área à esquerda é 0,95. Em tabelas da normal padrão ou usando calculadora científica/função inversa, esse valor é aproximadamente
z_{0,95}\approx 1,645.
  • Observação rápida: valor muito usado para o percentil 95\% é 1,645 (algumas tabelas dão 1,6449, a diferença é irrelevante para nossas contas aqui).

Passo 5

Voltando para x_{\text{corte}} e calculando passo a passo.
  • Usando \displaystyle \frac{x_{\text{corte}}-\mu}{\sigma}=z_{0,95}, isolamos x_{\text{corte}}:
x_{\text{corte}}=\mu+z_{0,95}\sigma.
  • Substituindo os valores dados:
x_{\text{corte}}=240000 + 1,645\cdot 30000.
  • Calculando a multiplicação:
1,645\cdot 30000 = 49350.
  • Somando:
x_{\text{corte}}=240000 + 49350 = 289350.

Passo 6

Interpretação e arredondamento.
  • Logo, o vendedor precisa ter vendas maiores ou iguais a aproximadamente 289350 u.m. na semana para estar no top 5\%.
  • Podemos arredondar para perto (por exemplo, para 289350 u.m. ou, se preferir números mais “redondos”, para 289400 u.m.), mas o valor calculado exato com z=1,645 é 289350 u.m.
  • Força aí — bateu o desespero, mas essa é a conta: se fizer algo próximo disso você entra no grupo dos premiados!

Resposta

\;289350\\ \text{u.m.}

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