Questão 34. O Departamento de Marketing da empresa resolve premiar
dos seus vendedores mais eficientes. Um levantamento das vendas individuais por semana mostrou que elas se distribuíam normalmente com média 240.000 u.m. e desvio padrão 30.000 u.m. Qual o volume de vendas mínimo que um vendedor deve realizar para ser premiado?
Passo 1
O enunciado pede que a gente encontre o volume mínimo de vendas que coloca um vendedor entre os
melhores da empresa. Informações dadas:
- A distribuição das vendas individuais por semana é normal.
- Média das vendas:
u.m. - Desvio padrão:
u.m. - Queremos o ponto de corte
tal que apenas dos vendedores tenham vendas maiores ou iguais a esse valor (isto é, os mais eficientes).
Passo 2
Explicando o que vamos usar (com calma e passo a passo, sem pular etapas).
- Quando uma variável aleatória
é normal com média e desvio padrão , escrevemos . - Para facilitar cálculos usamos a padronização: definimos a variável padronizada
- A variável
tem distribuição normal padrão, isto é, média e desvio padrão . Isso permite usar tabelas ou a função inversa da normal padrão para converter áreas (percentuais) em valores de . - Intuição rápida: se
então está a um desvio padrão acima da média; se está a dois desvios-padrão acima, e assim por diante.
Passo 3
Traduzindo o objetivo em probabilidade e usando padronização.
- Queremos
tal que
- Como a probabilidade total é
, isso equivale a
- Padronizando
para ,
- Ou seja, o quantil de ordem
da normal padrão nos dá o valor de tal que
Passo 4
Encontrando
.
-
é o valor da normal padrão cuja área à esquerda é . Em tabelas da normal padrão ou usando calculadora científica/função inversa, esse valor é aproximadamente
- Observação rápida: valor muito usado para o percentil
é (algumas tabelas dão , a diferença é irrelevante para nossas contas aqui).
Passo 5
Voltando para
e calculando passo a passo.
- Usando
, isolamos :
- Substituindo os valores dados:
- Calculando a multiplicação:
- Somando:
Passo 6
Interpretação e arredondamento.
- Logo, o vendedor precisa ter vendas maiores ou iguais a aproximadamente
u.m. na semana para estar no top . - Podemos arredondar para perto (por exemplo, para
u.m. ou, se preferir números mais “redondos”, para u.m.), mas o valor calculado exato com é u.m. - Força aí — bateu o desespero, mas essa é a conta: se fizer algo próximo disso você entra no grupo dos premiados!