Questão 35.Em uma população de escores cujo valor médio é
e desvio padrão é
, desejamos dividi-la em quatro classes. A classe “A” é formada por
dos menores escores; a classe “B” por
dos escores seguintes a “A”; a classe “C” por
dos escores seguintes a “B” e a classe “D” pelos maiores escores restantes. Admitindo distribuição normal para os escores, quais os limites de cada classe? Em que classe estará um escore de 75 ? E um escore de 30 ?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas.
Informações dadas:
- O valor médio da população é
. - O desvio padrão é
. - Queremos dividir a população em quatro classes segundo percentuais acumulados:
- Classe A: os
menores escores. - Classe B: os
seguintes aos de A. - Classe C: os
seguintes aos de B. - Classe D: os maiores escores restantes.
- Classe A: os
- Admitimos que os escores seguem uma distribuição normal.
Perguntas do enunciado:
- Quais são os limites (valores de corte) de cada classe? Ou seja, os valores de escore que separam A/B, B/C e C/D.
- Em que classe estará um escore de
? - Em que classe estará um escore de
?
Passo 2
Ideia geral do que vamos fazer (sem resolver ainda): para cada separação de classes precisamos do percentil correspondente à distribuição normal com média
e desvio padrão
. Primeiro transformamos o problema para a Normal padrão (com média
e desvio
) usando a padronização; depois achamos o valor de
correspondente ao percentil desejado; finalmente voltamos à escala original com a fórmula de transformação inversa.
Explicação didática da ferramenta que vamos usar:
- A distribuição normal
tem a propriedade de que, para um valor , a probabilidade acumulada até é a mesma que a probabilidade acumulada até na Normal padrão quando padronizamos: Aqui é o número de desvios-padrão que está acima (se positivo) ou abaixo (se negativo) da média. - Para encontrar o valor de corte
associado a uma probabilidade acumulada (por exemplo ), fazemos o processo inverso: achamos tal que para e então - Na prática, usamos tabela da Normal padrão ou calculadora estatística para obter
. Vou usar valores de correspondentes aos percentis pedidos (forneço os motivos e aproximações).
Passo 3
Determine os percentis acumulados para as fronteiras entre classes.
As classes têm percentuais:
- A:
(isto é, em probabilidade). - B:
depois de A, então a fronteira A/B é no percentil . - A + B acumulado =
. Assim a fronteira B/C é no percentil . - A + B + C acumulado =
. Assim a fronteira C/D é no percentil .
Resumo dos percentis a inverter:
Passo 4
Achar os quantis
da Normal padrão para cada
.
Explicando como ler/interpretá-los: uma tabela ou função inversa da Normal padrão nos dá o valor
tal que
. Vou usar valores arredondados com precisão adequada para cálculo manual de cortes (esses valores são os que normalmente se encontram em tabelas):
-
Para
temos .
(Justificativa rápida:corresponde a . Como é um pouco maior que , o é um pouco maior que , isto é aproximadamente. Uma tabela dá .) -
Para
temos .
(Justificativa:corresponde a . Para o é negativo e pequeno em magnitude; uma tabela dá .) -
Para
temos .
(Justificativa:é . Como é um pouco menor que , o será um pouco menor que ; tabela fornece cerca de .)
Esses
são aproximados, mas suficientemente precisos para calcular os limites pedidos.
Passo 5
Transformar cada
de volta para a escala dos escores usando
com
e
. Vou mostrar a conta detalhada para cada corte.
Corte A/B (percentil
,
):
Calcule o produto:
Agora some à média:
Arredondando de forma prática para escores, obtemos
.
Corte B/C (percentil
,
):
Produto:
Soma:
Arredondando:
.
Corte C/D (percentil
,
):
Produto:
Soma:
Arredondando:
.
Passo 6
Interpretar os limites e escrever os intervalos das classes (vou usar a convenção natural: A = até
, B = entre
e
, C = entre
e
, D = acima de
). Para evitar ambiguidades em valores exatamente iguais aos limites, pode-se decidir incluir o limite superior em uma classe ou na outra; isso normalmente não muda percentuais quando se trata de variáveis contínuas. Assim:
- Classe A:
aproximadamente. - Classe B:
aproximadamente. - Classe C:
aproximadamente. - Classe D:
aproximadamente.
Passo 7
Classificar os escores pedidos usando os limites.
Primeiro o escore
. Podemos comparar com os limites ou calcular
:
Comparando com os cortes,
corresponde a um valor maior que
de
(que era
), ou simplesmente
. Logo
pertence à Classe D.
Agora o escore
:
Isso é muito menor que
correspondente ao corte A/B (que era
), ou seja
. Logo
pertence à Classe A.
Resposta
Classe A:
(aprox.)
Classe B: (aprox.)
Classe C: (aprox.)
Classe D: (aprox.)
Escore : Classe D
Escore : Classe A
Classe B:
Classe C:
Classe D:
Escore
Escore