Questão 35.Em uma população de escores cujo valor médio é \mu=60 e desvio padrão é \sigma=12, desejamos dividi-la em quatro classes. A classe “A” é formada por 16,6 \% dos menores escores; a classe “B” por 24,3 \% dos escores seguintes a “A”; a classe “C” por 38,2 \% dos escores seguintes a “B” e a classe “D” pelos maiores escores restantes. Admitindo distribuição normal para os escores, quais os limites de cada classe? Em que classe estará um escore de 75 ? E um escore de 30 ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas.
Informações dadas:
  • O valor médio da população é \mu=60.
  • O desvio padrão é \sigma=12.
  • Queremos dividir a população em quatro classes segundo percentuais acumulados:
    • Classe A: os 16{,}6\% menores escores.
    • Classe B: os 24{,}3\% seguintes aos de A.
    • Classe C: os 38{,}2\% seguintes aos de B.
    • Classe D: os maiores escores restantes.
  • Admitimos que os escores seguem uma distribuição normal.
Perguntas do enunciado:
  1. Quais são os limites (valores de corte) de cada classe? Ou seja, os valores de escore que separam A/B, B/C e C/D.
  2. Em que classe estará um escore de 75?
  3. Em que classe estará um escore de 30?

Passo 2

Ideia geral do que vamos fazer (sem resolver ainda): para cada separação de classes precisamos do percentil correspondente à distribuição normal com média \mu e desvio padrão \sigma. Primeiro transformamos o problema para a Normal padrão (com média 0 e desvio 1) usando a padronização; depois achamos o valor de z correspondente ao percentil desejado; finalmente voltamos à escala original com a fórmula de transformação inversa.
Explicação didática da ferramenta que vamos usar:
  • A distribuição normal N(\mu,\sigma^2) tem a propriedade de que, para um valor x, a probabilidade acumulada até x é a mesma que a probabilidade acumulada até z na Normal padrão N(0,1) quando padronizamos: z = \frac{x-\mu}{\sigma}.Aqui z é o número de desvios-padrão que x está acima (se positivo) ou abaixo (se negativo) da média.
  • Para encontrar o valor de corte x associado a uma probabilidade acumulada p (por exemplo p=0{,}166), fazemos o processo inverso: achamos z_p tal que P(Z\le z_p)=p para Z\sim N(0,1) e então x = \mu + z_p \sigma.
  • Na prática, usamos tabela da Normal padrão ou calculadora estatística para obter z_p. Vou usar valores de z correspondentes aos percentis pedidos (forneço os motivos e aproximações).

Passo 3

Determine os percentis acumulados para as fronteiras entre classes.
As classes têm percentuais:
  • A: 16{,}6\% (isto é, 0{,}166 em probabilidade).
  • B: 24{,}3\% depois de A, então a fronteira A/B é no percentil p_1=0{,}166.
  • A + B acumulado = 0{,}166+0{,}243=0{,}409. Assim a fronteira B/C é no percentil p_2=0{,}409.
  • A + B + C acumulado = 0{,}409+0{,}382=0{,}791. Assim a fronteira C/D é no percentil p_3=0{,}791.
Resumo dos percentis a inverter:
p_1=0{,}166,\quad p_2=0{,}409,\quad p_3=0{,}791.

Passo 4

Achar os quantis z_{p} da Normal padrão para cada p.
Explicando como ler/interpretá-los: uma tabela ou função inversa da Normal padrão nos dá o valor z tal que P(Z\le z)=p. Vou usar valores arredondados com precisão adequada para cálculo manual de cortes (esses valores são os que normalmente se encontram em tabelas):
  • Para p_1=0{,}166 temos z_{0{,}166}\approx -0{,}967.
    (Justificativa rápida: p=0{,}1587 corresponde a z=-1{,}00. Como 0{,}166 é um pouco maior que 0{,}1587, o z é um pouco maior que -1, isto é -0{,}97 aproximadamente. Uma tabela dá -0{,}967.)
  • Para p_2=0{,}409 temos z_{0{,}409}\approx -0{,}227.
    (Justificativa: p=0{,}500 corresponde a z=0. Para p=0{,}409 o z é negativo e pequeno em magnitude; uma tabela dá -0{,}227.)
  • Para p_3=0{,}791 temos z_{0{,}791}\approx 0{,}806.
    (Justificativa: p=0{,}8413 é z=1. Como 0{,}791 é um pouco menor que 0{,}8413, o z será um pouco menor que 1; tabela fornece cerca de 0{,}806.)
Esses z são aproximados, mas suficientemente precisos para calcular os limites pedidos.

Passo 5

Transformar cada z de volta para a escala dos escores usando \displaystyle x=\mu+z\sigma com \mu=60 e \sigma=12. Vou mostrar a conta detalhada para cada corte.
Corte A/B (percentil 0{,}166, z\approx -0{,}967):
x_1 = 60 + (-0{,}967)\cdot 12.
Calcule o produto:
(-0{,}967)\cdot 12 = -11{,}604.
Agora some à média:
x_1 = 60 - 11{,}604 = 48{,}396.
Arredondando de forma prática para escores, obtemos x_1\approx 48{,}40.
Corte B/C (percentil 0{,}409, z\approx -0{,}227):
x_2 = 60 + (-0{,}227)\cdot 12.
Produto:
(-0{,}227)\cdot 12 = -2{,}724.
Soma:
x_2 = 60 - 2{,}724 = 57{,}276.
Arredondando: x_2\approx 57{,}28.
Corte C/D (percentil 0{,}791, z\approx 0{,}806):
x_3 = 60 + 0{,}806\cdot 12.
Produto:
0{,}806\cdot 12 = 9{,}672.
Soma:
x_3 = 60 + 9{,}672 = 69{,}672.
Arredondando: x_3\approx 69{,}67.

Passo 6

Interpretar os limites e escrever os intervalos das classes (vou usar a convenção natural: A = até x_1, B = entre x_1 e x_2, C = entre x_2 e x_3, D = acima de x_3). Para evitar ambiguidades em valores exatamente iguais aos limites, pode-se decidir incluir o limite superior em uma classe ou na outra; isso normalmente não muda percentuais quando se trata de variáveis contínuas. Assim:
  • Classe A: (-\infty,\;48{,}40] aproximadamente.
  • Classe B: (48{,}40,\;57{,}28] aproximadamente.
  • Classe C: (57{,}28,\;69{,}67] aproximadamente.
  • Classe D: (69{,}67,\;+\infty) aproximadamente.

Passo 7

Classificar os escores pedidos usando os limites.
Primeiro o escore 75. Podemos comparar com os limites ou calcular z:
z_{75}=\frac{75-60}{12}=\frac{15}{12}=1{,}25.
Comparando com os cortes, 1{,}25 corresponde a um valor maior que z de x_3 (que era 0{,}806), ou simplesmente 75>69{,}67. Logo 75 pertence à Classe D.
Agora o escore 30:
z_{30}=\frac{30-60}{12}=\frac{-30}{12}=-2{,}5.
Isso é muito menor que z correspondente ao corte A/B (que era -0{,}967), ou seja 30<48{,}40. Logo 30 pertence à Classe A.

Resposta

Classe A: (-\infty,\;48{,}40] (aprox.)
Classe B: (48{,}40,\;57{,}28] (aprox.)
Classe C: (57{,}28,\;69{,}67] (aprox.)
Classe D: (69{,}67,\;+\infty) (aprox.)
Escore 75: Classe D
Escore 30: Classe A

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