Questão 32
Um biólogo está estudando uma colônia de bactérias que se divide em grupos menores com base em fatores primos. Ele começa com uma população inicial de 60 bactérias e quer entender a composição dos fatores primos dessa população. Para sua análise, ele precisa determinar a soma dos divisores primos do número 60. Nesse sentido, é correto afirmar que essa soma é
(A) 10.
(B) 7 .
(C) 9 .
(D) 13 .
(A) 10.
(B) 7 .
(C) 9 .
(D) 13 .
Passo 1
O enunciado diz que começamos com uma população de
bactérias e pede a "soma dos divisores primos do número
". Informação relevante que o enunciado dá:
- O número a analisar é
. - Precisamos identificar os divisores de
que são números primos e então somá‑los. - As alternativas oferecidas são
, , e .
Passo 2
O que é um número primo e o que é um divisor primo?
- Um número primo é um inteiro maior que
que só tem dois divisores positivos distintos: e ele próprio (por exemplo, ). - Um “divisor primo” de um número
é um número primo que divide sem deixar resto. Em outras palavras, um primo é divisor primo de se existe um inteiro tal que . - Observação importante: quando pedem a soma dos divisores primos normalmente consideramos cada primo distinto apenas uma vez (não somamos multiplicidades).
Passo 3
Estratégia prática para encontrar os divisores primos de
:
- Fazemos a fatoração de
em números primos usando divisão sucessiva por primos pequenos ( etc.). Esse método é rápido e fácil de fazer à mão numa prova.
Passo 4
Aplicando a divisão sucessiva por primos a
:
- Dividimos por
pois é par:
. - Dividimos novamente por
porque também é par:
. - Agora
não é divisível por . Testamos : . - Finalmente
é primo e , então terminamos.
Passo 5
Escrevendo a fatoração obtida em forma padrão:
Essa expressão é a fatoração prima de
. Repare que os primos que aparecem são
,
e
.
Passo 6
Identificando os divisores primos e explicando a escolha:
- Os divisores primos de
são os primos que aparecem na fatoração: . - Não contamos
duas vezes apesar de aparecer com expoente na fatoração, porque a soma dos divisores primos normalmente considera cada primo distinto apenas uma vez.
Passo 7
Calculando a soma dos divisores primos:
Passo 8
Conclusão final: a soma dos divisores primos de
é
, que corresponde à alternativa correta.
Resposta
(A) 10.