Questão 34: Determine se os conjuntos de vetores abaixo são linearmente dependentes ou linearmente indepen dentes. Justifique.
S= lll111, & 011, & 100 0 & 1 & 1

Passo 1

O enunciado dá o conjunto de vetores
S=,(1,1,1),;(0,1,1),;(1,0,0)subsetR^3
e pede para verificar se eles são linearmente independentes ou não. Vamos usar o conceito de combinação linear e resolver a equação
alpha(1,1,1)+beta(0,1,1)+gamma(1,0,0)=(0,0,0).

Passo 2

Escrevendo coordenada a coordenada, a combinação
alpha(1,1,1)+beta(0,1,1)+gamma(1,0,0)=(0,0,0)
gera o sistema
alpha + gamma = 0, alpha + beta = 0, alpha + beta = 0

Passo 3

Note que a segunda e a terceira equação são idênticas, então só temos duas equações independentes para três incógnitas. Logo
beta=-alpha, gamma=-alpha,
com alpha livre. Por exemplo, tomando alpha=1 obtemos beta=-1 e gamma=-1, uma solução não trivial.

Passo 4

Como existe solução não trivial, o conjunto é linearmente dependente. Em particular, podemos escrever
(1,1,1)-(0,1,1)-(1,0,0)=(0,0,0),
ou seja,
(1,1,1)=(0,1,1)+(1,0,0)

Resposta

O conjunto S é linearmente dependente.

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