Questão 31. (b) Seja o campo vetorial \vec{F}(x, y)=\frac{-3 y}{9 x^{2}+y^{2}} \vec{i}+\frac{3 x}{9 x^{2}+y^{2}} \vec{j}. Justifique se é possível ou não aplicar o Teorema de Green para calcular a integral \int_{E} \vec{F} \bullet d \vec{r}, onde E é a elipse 9 x^{2}+y^{2}=1 percorrida no sentido anti-horário.

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial
\vec{F}(x,y)=\frac{-3y}{9x^{2}+y^{2}}\vec{i}+\frac{3x}{9x^{2}+y^{2}}\vec{j}
e a curva E definida pela elipse
9x^{2}+y^{2}=1,
percorrida no sentido anti-horário. A pergunta é: justificar se é possível aplicar o Teorema de Green para calcular a integral de linha
\int_{E}\vec{F}\cdot d\vec{r}.
As informações relevantes são, portanto:
  • os componentes do campo: P(x,y)=\dfrac{-3y}{9x^{2}+y^{2}} e Q(x,y)=\dfrac{3x}{9x^{2}+y^{2}};
  • a curva E é a fronteira do interior da elipse D=\{(x,y):9x^{2}+y^{2}\le1\} e está orientada positivamente (anti-horário);
  • deve-se verificar as hipóteses do Teorema de Green sobre P e Q na região D.

Passo 2

Vou lembrar (e explicar) claramente o que diz o Teorema de Green e quais condições ele exige.
O Teorema de Green afirma o seguinte. Seja C uma curva simples, fechada e positiva que é a fronteira de uma região D do plano. Se P e Q têm derivadas parciais contínuas em uma região aberta que contém D (ou seja, são C^{1} em D e nos seus pontos de fronteira), então vale
\oint_{C} P\,dx+Q\,dy=\iint_{D}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA.
Explicando as condições:
  • "Derivadas parciais contínuas em uma região aberta que contém D" significa que tanto \partial P/\partial x, \partial P/\partial y, \partial Q/\partial x, \partial Q/\partial y existem e são contínuas em todo ponto do interior de D e também em sua vizinhança (não pode haver pontos onde P ou Q sejam indefinidos ou singulares dentro de D).
  • Se alguma dessas condições falhar (por exemplo, se P ou Q não estiverem definidas em algum ponto interior de D), então o Teorema de Green NÃO pode ser aplicado diretamente.

Passo 3

Verificação da definição de \vec{F} no interior da elipse. O denominador é 9x^{2}+y^{2}. Ele é zero exatamente quando
9x^{2}+y^{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad x=0,\;y=0,
ou seja, o único ponto problema é a origem (0,0). Note que a origem satisfaz 9\cdot0^{2}+0^{2}=0<1, logo a origem está no interior da elipse D. Conclusão:
  • P e Q não estão definidas em (0,0), portanto não têm derivadas parciais contínuas em todo D.
    Portanto a hipótese de regularidade do Teorema de Green falha — não é possível aplicar o Teorema de Green diretamente sobre a região inteira D.

Passo 4

Ainda assim, é útil calcular a “rotacional” (o integrando duplo do Teorema de Green), para entender o comportamento do campo onde ele é definido. Vou calcular \dfrac{\partial Q}{\partial x} e \dfrac{\partial P}{\partial y} em pontos onde 9x^{2}+y^{2}\neq0.
Defina D(x,y)=9x^{2}+y^{2}. Então Q(x,y)=\dfrac{3x}{D} e P(x,y)=\dfrac{-3y}{D}.
Calcule \dfrac{\partial Q}{\partial x} usando a regra do quociente:
\frac{\partial Q}{\partial x} =\frac{3\cdot D - 3x\cdot \frac{\partial D}{\partial x}}{D^{2}} =\frac{3D-3x\cdot 18x}{D^{2}} =\frac{3(9x^{2}+y^{2})-54x^{2}}{D^{2}} =\frac{3(-9x^{2}+y^{2})}{D^{2}}.
Calcule \frac{\partial P}{\partial y}:
\frac{\partial P}{\partial y} =\frac{-3\cdot D -(-3y)\cdot\frac{\partial D}{\partial y}}{D^{2}} =\frac{-3D+3y\cdot 2y}{D^{2}} =\frac{-3(9x^{2}+y^{2})+6y^{2}}{D^{2}} =\frac{3(-9x^{2}+y^{2})}{D^{2}}.
Portanto, em todos os pontos onde D\neq0,
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=0.
Interpretação: o rotacional é nulo em \mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,0)\}. Isso significa que o campo é “localmente sem rotação” onde está definido, mas atenção: isso NÃO garante que a integral de linha em um laço fechada que envolva a origem seja zero, porque o domínio inteiro \mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,0)\} não é simplesmente conexo.

Passo 5

Explicando o porquê do passo anterior não bastar: o fato de \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=0 em uma região não conectada simplesmente (por exemplo \mathbb{R}^{2}\setminus\{0\}) não implica que \vec{F} seja gradiente de alguma função global nessa região; a existência de singularidade no interior (a origem) permite que fechaduras em torno da singularidade tenham integral de linha diferente de zero. O Teorema de Green exige continuidade das derivadas parciais em toda a região fechada D; como essa hipótese falha (origem é singular), NÃO é permitido aplicar diretamente o Teorema de Green para substituir a integral de linha pela integral dupla sobre D.
Então, resposta à primeira parte da pergunta: não se pode aplicar o Teorema de Green diretamente sobre D, porque P e Q não são definidos (nem têm derivadas contínuas) em (0,0), que está no interior de D.

Passo 6

Apesar de não podermos usar Green diretamente, podemos calcular a integral por parametrização explícita da elipse. Uma parametrização natural de E (sentido anti-horário) é
\vec{r}(t)=\bigl(x(t),y(t)\bigr)=\left(\frac{1}{3}\cos t,\;\sin t\right),\qquad 0\le t\le 2\pi.
Verifico que 9x(t)^{2}+y(t)^{2}=9\cdot\frac{1}{9}\cos^{2}t+\sin^{2}t=\cos^{2}t+\sin^{2}t=1, ou seja, a parametrização está correta.
Calcule a derivada
\vec{r}\,'(t)=\left(-\frac{1}{3}\sin t,\;\cos t\right).
Avalio \vec{F} ao longo de \vec{r}(t). Primeiro o denominador ao longo da curva:
9x(t)^{2}+y(t)^{2}=1,
logo ao longo de E o campo simplifies:
\vec{F}(\vec{r}(t))=\left(\frac{-3y(t)}{1},\frac{3x(t)}{1}\right)=\bigl(-3\sin t,\;3\cdot\tfrac{1}{3}\cos t\bigr)=(-3\sin t,\;\cos t).
Agora o produto escalar \vec{F}(\vec{r}(t))\cdot\vec{r}\,'(t):
\vec{F}(\vec{r}(t))\cdot\vec{r}\,'(t) =(-3\sin t)\left(-\frac{1}{3}\sin t\right)+(\cos t)(\cos t) =\sin^{2}t+\cos^{2}t=1.
Portanto a integral de linha é
\int_{E}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\int_{0}^{2\pi}1\,dt=2\pi.
Este cálculo mostra explicitamente o valor da integral, sem recorrer ao Teorema de Green.

Passo 7

(Comentário opcional que ajuda a compreender o papel da singularidade.) Uma maneira de conectar com Green é fazer a região D menos um pequeno disco centrado na origem: D_{\varepsilon}=D\setminus B_{\varepsilon}(0). Em D_{\varepsilon} o campo é C^{1}, então Green vale e dá que a integral sobre a fronteira de D_{\varepsilon} (fronteira grande E com orientação positiva, mais fronteira pequena \partial B_{\varepsilon}(0) com orientação negativa) é igual à integral dupla do rotacional, que é zero. Assim a integral sobre E é igual à integral sobre \partial B_{\varepsilon}(0). Fazendo a parametrização do círculo pequeno e levando \varepsilon\to0 obtém-se também 2\pi. Isso confirma que a origem é responsável pelo valor não nulo da integral: o rotacional é zero fora dela, mas a singularidade concentra um “vórtice” que dá o valor 2\pi.

Resposta

Não é possível aplicar diretamente o Teorema de Green (o campo é singular em (0,0), que está no interior de E); entretanto
\int_{E}\vec{F}\cdot d\vec{r}=2\pi.

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