Questão 31. (b) Seja o campo vetorial
. Justifique se é possível ou não aplicar o Teorema de Green para calcular a integral
, onde
é a elipse
percorrida no sentido anti-horário.
Passo 1
O enunciado nos dá o campo vetorial
e a curva
definida pela elipse
percorrida no sentido anti-horário. A pergunta é: justificar se é possível aplicar o Teorema de Green para calcular a integral de linha
As informações relevantes são, portanto:
- os componentes do campo:
e ; - a curva
é a fronteira do interior da elipse e está orientada positivamente (anti-horário); - deve-se verificar as hipóteses do Teorema de Green sobre
e na região .
Passo 2
Vou lembrar (e explicar) claramente o que diz o Teorema de Green e quais condições ele exige.
O Teorema de Green afirma o seguinte. Seja
uma curva simples, fechada e positiva que é a fronteira de uma região
do plano. Se
e
têm derivadas parciais contínuas em uma região aberta que contém
(ou seja, são
em
e nos seus pontos de fronteira), então vale
Explicando as condições:
- "Derivadas parciais contínuas em uma região aberta que contém
" significa que tanto , , , existem e são contínuas em todo ponto do interior de e também em sua vizinhança (não pode haver pontos onde ou sejam indefinidos ou singulares dentro de ). - Se alguma dessas condições falhar (por exemplo, se
ou não estiverem definidas em algum ponto interior de ), então o Teorema de Green NÃO pode ser aplicado diretamente.
Passo 3
Verificação da definição de
no interior da elipse. O denominador é
. Ele é zero exatamente quando
ou seja, o único ponto problema é a origem
. Note que a origem satisfaz
, logo a origem está no interior da elipse
. Conclusão:
-
e não estão definidas em , portanto não têm derivadas parciais contínuas em todo .
Portanto a hipótese de regularidade do Teorema de Green falha — não é possível aplicar o Teorema de Green diretamente sobre a região inteira.
Passo 4
Ainda assim, é útil calcular a “rotacional” (o integrando duplo do Teorema de Green), para entender o comportamento do campo onde ele é definido. Vou calcular
e
em pontos onde
.
Defina
. Então
e
.
Calcule
usando a regra do quociente:
Calcule
:
Portanto, em todos os pontos onde
,
Interpretação: o rotacional é nulo em
. Isso significa que o campo é “localmente sem rotação” onde está definido, mas atenção: isso NÃO garante que a integral de linha em um laço fechada que envolva a origem seja zero, porque o domínio inteiro
não é simplesmente conexo.
Passo 5
Explicando o porquê do passo anterior não bastar: o fato de
em uma região não conectada simplesmente (por exemplo
) não implica que
seja gradiente de alguma função global nessa região; a existência de singularidade no interior (a origem) permite que fechaduras em torno da singularidade tenham integral de linha diferente de zero. O Teorema de Green exige continuidade das derivadas parciais em toda a região fechada
; como essa hipótese falha (origem é singular), NÃO é permitido aplicar diretamente o Teorema de Green para substituir a integral de linha pela integral dupla sobre
.
Então, resposta à primeira parte da pergunta: não se pode aplicar o Teorema de Green diretamente sobre
, porque
e
não são definidos (nem têm derivadas contínuas) em
, que está no interior de
.
Passo 6
Apesar de não podermos usar Green diretamente, podemos calcular a integral por parametrização explícita da elipse. Uma parametrização natural de
(sentido anti-horário) é
Verifico que
, ou seja, a parametrização está correta.
Calcule a derivada
Avalio
ao longo de
. Primeiro o denominador ao longo da curva:
logo ao longo de
o campo simplifies:
Agora o produto escalar
:
Portanto a integral de linha é
Este cálculo mostra explicitamente o valor da integral, sem recorrer ao Teorema de Green.
Passo 7
(Comentário opcional que ajuda a compreender o papel da singularidade.) Uma maneira de conectar com Green é fazer a região
menos um pequeno disco centrado na origem:
. Em
o campo é
, então Green vale e dá que a integral sobre a fronteira de
(fronteira grande
com orientação positiva, mais fronteira pequena
com orientação negativa) é igual à integral dupla do rotacional, que é zero. Assim a integral sobre
é igual à integral sobre
. Fazendo a parametrização do círculo pequeno e levando
obtém-se também
. Isso confirma que a origem é responsável pelo valor não nulo da integral: o rotacional é zero fora dela, mas a singularidade concentra um “vórtice” que dá o valor
.
Resposta
Não é possível aplicar diretamente o Teorema de Green (o campo é singular em
, que está no interior de
); entretanto