Questão 29. Use o Teorema da Divergência para calcular a integral de superfície
ou seja, o fluxo de
através da superfície
.
(c)
é a superfície do sólido limitado pelo cilindro
e pelos planos
e
. Resposta:
;
(c)
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado:
- Pede-se o fluxo
através da superfície . - A superfície
é a superfície do sólido limitado pelo cilindro e pelos planos e . Ou seja, . - O campo vetorial dado é
- A superfície
é fechada (cilindro lateral mais as duas “tampas” em e ); o fluxo pedido é o fluxo total saindo do volume (orientação externa).
Passo 2
Enunciando e explicando o Teorema da Divergência (Gauss):
- O Teorema da Divergência diz que, para um campo vetorial suave
e um volume com superfície fechada orientada para fora,
- Aqui
é a divergência de , que mede a taxa de “saída” local do campo. Para tem-se
- Vamos calcular
para o campo dado, passo a passo: -
. Então -
. Então (não depende de ). -
. Então
-
- Somando,
Passo 3
Montando a integral tripla sobre o volume
:
- Pelo teorema da divergência,
- A região
é um cilindro reto paralelo ao eixo , com seção transversal no plano dada por , e variando de a . - É conveniente usar coordenadas polares no plano
: defina o ângulo no plano , com
onde
e
. O elemento de volume é
- Em termos de
,
logo o integrando fica
e o produto com o jacobiano dá
.
Passo 4
Calcular a integral em ordem
:
- Escrevendo explicitamente os limites:
- Integrando em
:
- Integrando em
:
- Integrando em
:
- Multiplicando os resultados:
Passo 5
Interpretação final e checagem:
- Pelo teorema da divergência, o fluxo total de
através da superfície fechada é exatamente o valor da integral tripla calculada, . - Esse resultado coincide com a resposta fornecida, o que é uma boa checagem de consistência.