Questão 29. Use o Teorema da Divergência para calcular a integral de superfície
\iint_{S} \vec{F} \cdot d \vec{S}
ou seja, o fluxo de \vec{F} através da superfície S.
(c) \vec{F}(x, y, z)=3 x y^{2} \vec{i}+x e^{z} \vec{j}+z^{3} \vec{k}, S é a superfície do sólido limitado pelo cilindro y^{2}+z^{2}=1 e pelos planos x=-1 e x=2. Resposta: \frac{9 \pi}{2};

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado:
  • Pede-se o fluxo \iint_{S} \vec{F}\cdot d\vec{S} através da superfície S.
  • A superfície S é a superfície do sólido V limitado pelo cilindro \;y^{2}+z^{2}=1\; e pelos planos \;x=-1\; e \;x=2\;. Ou seja, V=\{(x,y,z)\mid -1\le x\le 2,\;y^{2}+z^{2}\le 1\}.
  • O campo vetorial dado é \displaystyle \vec{F}(x,y,z)=3xy^{2}\,\vec{i}+x e^{z}\,\vec{j}+z^{3}\,\vec{k}.
  • A superfície S é fechada (cilindro lateral mais as duas “tampas” em x=-1 e x=2); o fluxo pedido é o fluxo total saindo do volume (orientação externa).

Passo 2

Enunciando e explicando o Teorema da Divergência (Gauss):
  • O Teorema da Divergência diz que, para um campo vetorial suave \vec{F} e um volume V com superfície fechada S=\partial V orientada para fora,
\iint_{S}\vec{F}\cdot d\vec{S}=\iiint_{V}\nabla\cdot\vec{F}\,dV.
  • Aqui \nabla\cdot\vec{F} é a divergência de \vec{F}, que mede a taxa de “saída” local do campo. Para \vec{F}=(F_{1},F_{2},F_{3}) tem-se
\nabla\cdot\vec{F}=\frac{\partial F_{1}}{\partial x}+\frac{\partial F_{2}}{\partial y}+\frac{\partial F_{3}}{\partial z}.
  • Vamos calcular \nabla\cdot\vec{F} para o campo dado, passo a passo:
    • F_{1}(x,y,z)=3xy^{2}. Então \displaystyle \frac{\partial F_{1}}{\partial x}=3y^{2}.
    • F_{2}(x,y,z)=x e^{z}. Então \displaystyle \frac{\partial F_{2}}{\partial y}=0 (não depende de y).
    • F_{3}(x,y,z)=z^{3}. Então \displaystyle \frac{\partial F_{3}}{\partial z}=3z^{2}.
  • Somando,
\nabla\cdot\vec{F}=3y^{2}+0+3z^{2}=3\bigl(y^{2}+z^{2}\bigr).

Passo 3

Montando a integral tripla sobre o volume V:
  • Pelo teorema da divergência,
\iint_{S}\vec{F}\cdot d\vec{S}=\iiint_{V}3\bigl(y^{2}+z^{2}\bigr)\,dV.
  • A região V é um cilindro reto paralelo ao eixo x, com seção transversal no plano yz dada por y^{2}+z^{2}\le 1, e x variando de -1 a 2.
  • É conveniente usar coordenadas polares no plano yz: defina \;r=\sqrt{y^{2}+z^{2}},\;\theta o ângulo no plano yz, com
y=r\cos\theta,\qquad z=r\sin\theta,
onde 0\le r\le 1 e 0\le\theta\le 2\pi. O elemento de volume é
dV = r\,dr\,d\theta\,dx.
  • Em termos de r,
y^{2}+z^{2}=r^{2},
logo o integrando fica 3r^{2} e o produto com o jacobiano dá 3r^{2}\cdot r = 3r^{3}.

Passo 4

Calcular a integral em ordem r,\theta,x:
  • Escrevendo explicitamente os limites:
\iiint_{V}3\bigl(y^{2}+z^{2}\bigr)\,dV =\int_{x=-1}^{2}\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{1}3r^{3}\,dr\,d\theta\,dx.
  • Integrando em r:
\int_{0}^{1}3r^{3}\,dr = 3\left[\frac{r^{4}}{4}\right]_{0}^{1}=3\cdot\frac{1}{4}=\frac{3}{4}.
  • Integrando em \theta:
\int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi.
  • Integrando em x:
\int_{-1}^{2} dx = 3.
  • Multiplicando os resultados:
\iiint_{V}3\bigl(y^{2}+z^{2}\bigr)\,dV = 3\cdot 2\pi \cdot \frac{3}{4} = \frac{9\pi}{2}.

Passo 5

Interpretação final e checagem:
  • Pelo teorema da divergência, o fluxo total de \vec{F} através da superfície fechada S é exatamente o valor da integral tripla calculada, \dfrac{9\pi}{2}.
  • Esse resultado coincide com a resposta fornecida, o que é uma boa checagem de consistência.

Resposta

\dfrac{9\pi}{2}

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