Questão 32 (FGV)
O valor de
, sendo i a unidade imaginária é:
a) 1
b) i
c) -1
d)
-i
e)
O valor de
a) 1
b) i
c) -1
d)
-i
e)
Passo 1
O enunciado pede para calcular o valor de
, onde
é a unidade imaginária.
Informações dadas importantes:
Informações dadas importantes:
-
é a unidade imaginária, portanto . - Temos uma expressão de potência de um número complexo:
.
A tarefa é simplificar a fração complexa interna e depois elevar o resultado à quarta potência.
Passo 2
Estratégia para simplificar a fração
: vamos eliminar o denominador complexo multiplicando numerador e denominador pelo conjugado do denominador. Explico: o conjugado de um complexo
é
. Multiplicar por esse conjugado transforma o produto em uma diferença de quadrados, resultando em número real no denominador, o que facilita muito. Agora aplicamos isso:
Passo 3
Calculamos separadamente numerador e denominador. Primeiro o numerador:
Agora o denominador, que é uma diferença de quadrados usando
:
Portanto a fração simplifica para
Pequena interpretação: a razão entre
e
deu exatamente
, ou seja, um número imaginário puro com módulo 1 e argumento
.
Passo 4
Agora elevamos ao quarto a quantidade que encontramos. Como
, temos
Usamos a propriedade
, então
Também é útil lembrar a sequência periódica das potências de
:
,
,
,
, e daí reinicia o ciclo.
Resposta
(a)