Questão 32 (FGV)
O valor de \left(\frac{1+i}{1-i}\right)^{4}, sendo i a unidade imaginária é:
a) 1
b) i
c) -1
d)
-i
e) 2 i

Passo 1

O enunciado pede para calcular o valor de \left(\frac{1+i}{1-i}\right)^{4}, onde i é a unidade imaginária.
Informações dadas importantes:
  • i é a unidade imaginária, portanto \;i^{2}=-1.
  • Temos uma expressão de potência de um número complexo: \left(\dfrac{1+i}{1-i}\right)^{4}.
    A tarefa é simplificar a fração complexa interna e depois elevar o resultado à quarta potência.

Passo 2

Estratégia para simplificar a fração \dfrac{1+i}{1-i}: vamos eliminar o denominador complexo multiplicando numerador e denominador pelo conjugado do denominador. Explico: o conjugado de um complexo a+bi é a-bi. Multiplicar por esse conjugado transforma o produto em uma diferença de quadrados, resultando em número real no denominador, o que facilita muito. Agora aplicamos isso:
\frac{1+i}{1-i}\cdot\frac{1+i}{1+i}=\frac{(1+i)^{2}}{(1-i)(1+i)}

Passo 3

Calculamos separadamente numerador e denominador. Primeiro o numerador:
(1+i)^{2}=1+2i+i^{2}=1+2i-1=2i.
Agora o denominador, que é uma diferença de quadrados usando i^{2}=-1:
(1-i)(1+i)=1-i^{2}=1-(-1)=2.
Portanto a fração simplifica para
\frac{1+i}{1-i}=\frac{2i}{2}=i.
Pequena interpretação: a razão entre 1+i e 1-i deu exatamente i, ou seja, um número imaginário puro com módulo 1 e argumento \tfrac{\pi}{2}.

Passo 4

Agora elevamos ao quarto a quantidade que encontramos. Como \dfrac{1+i}{1-i}=i, temos
\left(\frac{1+i}{1-i}\right)^{4}=i^{4}.
Usamos a propriedade \;i^{2}=-1, então
i^{4}=(i^{2})^{2}=(-1)^{2}=1.
Também é útil lembrar a sequência periódica das potências de i: i^{1}=i, i^{2}=-1, i^{3}=-i, i^{4}=1, e daí reinicia o ciclo.

Resposta

(a) 1

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