Questão 30 (USP)
Dado o complexo
isen
, o valor de
é:
a)
b)
c)
d)
e)
Dado o complexo
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado dá o número complexo
e pede o valor de
. São fornecidas cinco alternativas (a) a (e) e devemos escolher a correta.
Passo 2
Observação importante sobre a forma de
: o número complexo
é a forma trigonométrica (ou forma “cis”) de um número complexo no círculo unitário, com módulo
e argumento (ângulo)
. Aqui temos módulo
e argumento
. Vou usar isso para elevar
a uma potência inteira.
Passo 3
Apresentando a ferramenta que vamos usar (explicação didática):
A fórmula de De Moivre diz que, para qualquer real e inteiro
,
A fórmula de De Moivre diz que, para qualquer real
Essa fórmula vem facilmente da identidade de Euler
: elevando ambos os lados à potência
temos
. Em palavras: elevar um complexo em forma trigonométrica a uma potência multiplica o ângulo por
e deixa o módulo elevado (aqui o módulo é
, então continua
).
Passo 4
Aplicando De Moivre diretamente ao nosso caso com
e
:
Passo 5
Calcule o ângulo multiplicado:
pois
simplifica para
.
Passo 6
Agora avalie as funções trigonométricas em
. Sabemos os valores padrão no quadrante II:
Portanto
Passo 7
Compare esse resultado com as alternativas dadas: o formato coincide exatamente com a alternativa (a).
Resposta
a)