Questão 30 (USP)
Dado o complexo z=\cos \frac{\pi}{16}+ isen \frac{\pi}{16}, o valor de z^{12} é:
a) -\frac{\sqrt{2}}{2}+\mathrm{i} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}
b) -\frac{\sqrt{2}}{2}-\mathrm{i} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}
c) -\sqrt{2}+\mathrm{i}
d) -1+i \cdot \sqrt{2}
e) -\sqrt{2}+\mathrm{i} \cdot \sqrt{2}

Passo 1

O enunciado dá o número complexo
z=\cos\frac{\pi}{16}+\mathrm{i}\sin\frac{\pi}{16}
e pede o valor de z^{12}. São fornecidas cinco alternativas (a) a (e) e devemos escolher a correta.

Passo 2

Observação importante sobre a forma de z: o número complexo \cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta é a forma trigonométrica (ou forma “cis”) de um número complexo no círculo unitário, com módulo 1 e argumento (ângulo) \theta. Aqui temos módulo 1 e argumento \theta=\dfrac{\pi}{16}. Vou usar isso para elevar z a uma potência inteira.

Passo 3

Apresentando a ferramenta que vamos usar (explicação didática):
A fórmula de De Moivre diz que, para qualquer real \theta e inteiro n,
(\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta)^n=\cos(n\theta)+\mathrm{i}\sin(n\theta).
Essa fórmula vem facilmente da identidade de Euler \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}=\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta: elevando ambos os lados à potência n temos \mathrm{e}^{\mathrm{i}n\theta}=\cos(n\theta)+\mathrm{i}\sin(n\theta). Em palavras: elevar um complexo em forma trigonométrica a uma potência multiplica o ângulo por n e deixa o módulo elevado (aqui o módulo é 1, então continua 1).

Passo 4

Aplicando De Moivre diretamente ao nosso caso com n=12 e \theta=\dfrac{\pi}{16}:
z^{12}=(\cos\frac{\pi}{16}+\mathrm{i}\sin\frac{\pi}{16})^{12}=\cos\!\left(12\cdot\frac{\pi}{16}\right)+\mathrm{i}\sin\!\left(12\cdot\frac{\pi}{16}\right).

Passo 5

Calcule o ângulo multiplicado:
12\cdot\frac{\pi}{16}=\frac{12\pi}{16}=\frac{3\pi}{4},
pois 12/16 simplifica para 3/4.

Passo 6

Agora avalie as funções trigonométricas em \dfrac{3\pi}{4}. Sabemos os valores padrão no quadrante II:
\cos\frac{3\pi}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2},\qquad \sin\frac{3\pi}{4}=+\frac{\sqrt{2}}{2}.
Portanto
z^{12}=-\frac{\sqrt{2}}{2}+\mathrm{i}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}.

Passo 7

Compare esse resultado com as alternativas dadas: o formato coincide exatamente com a alternativa (a).

Resposta

a) -\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\mathrm{i}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}

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