Questão 31 (São Carlos - SP)
Dado o complexo z=1+i \sqrt{3}, então z^{6} vale:
a) 1-3 \sqrt{3} i
b) -64 i
c) 6+6 \sqrt{3} i
d) 1+3 \sqrt{3} i
e) 64

Passo 1

O enunciado dá o número complexo \,z=1+i\sqrt{3}\, e pede para calcular \,z^{6}\,.
Informações relevantes fornecidas:
  • parte real de z é \,1;
  • parte imaginária de z é \,\sqrt{3};
  • objetivo: encontrar o valor numérico de \,z^{6}\, (forma retangular, isto é, uma expressão a+bi ou um real se a parte imaginária for zero).

Passo 2

Calcular o módulo de z.
Fórmula: o módulo de um número complexo \,a+bi\, é \,r=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\,. Aqui a=1 e b=\sqrt{3}. Então
r=\sqrt{1^{2}+(\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2.
Explicação didática: o módulo é a distância do ponto (a,b) até a origem no plano complexo. Fizemos o teorema de Pitágoras.

Passo 3

Calcular o argumento (ângulo) de z.
Fórmula: para \,a+bi\, com a>0, o argumento principal \theta satisfaz \tan\theta=\dfrac{b}{a}. Aqui
\tan\theta=\frac{\sqrt{3}}{1}=\sqrt{3}.
O ângulo cujo tangente é \sqrt{3} no intervalo principal é \theta=\pi/3. Além disso, como a>0 e b>0, o ponto está no primeiro quadrante, então \theta=\pi/3 é o argumento correto.

Passo 4

Escrever z na forma polar (ou exponencial) e explicar por que isso ajuda.
A forma polar é \,z=r(\cos\theta+i\sin\theta)\, e a forma exponencial é \,z=r e^{i\theta}\,. Com os valores encontrados:
z = 2\bigl(\cos(\pi/3)+i\sin(\pi/3)\bigr)=2e^{i\pi/3}.
Por que usar essa forma? Porque existe a identidade (Teorema de De Moivre / propriedade exponencial) que facilita potências: para inteiro n,
\bigl(r e^{i\theta}\bigr)^{n}=r^{n}e^{in\theta}.
Isso transforma elevar um complexo a uma potência em operações simples com números reais e multiplicação de ângulos.

Passo 5

Aplicar a fórmula de potências à nossa situação com n=6.
Usando \,z=2e^{i\pi/3}\,,
z^{6}=\bigl(2e^{i\pi/3}\bigr)^{6}=2^{6}e^{i(6\cdot\pi/3)}.
Calcule cada parte separadamente: 2^{6}=64 e 6\cdot\pi/3=2\pi. Então
z^{6}=64\,e^{i2\pi}.

Passo 6

Voltar para a forma retangular (a + bi).
Usamos que e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphi. Para \varphi=2\pi sabemos que \cos(2\pi)=1 e \sin(2\pi)=0. Portanto
z^{6}=64\bigl(\cos(2\pi)+i\sin(2\pi)\bigr)=64(1+ i\cdot 0)=64.
Interpretação: a potência resultou num número real, pois a parte imaginária é zero.

Passo 7

Conclusão final e checagem rápida: o valor obtido 64 aparece entre as alternativas fornecidas (é a alternativa e). Está coerente com os cálculos por módulo/ângulo e com a identidade de De Moivre.

Resposta

64

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