Questão 31 (São Carlos - SP)
Dado o complexo
, então
vale:
a)
b)
c)
d)
e) 64
Dado o complexo
a)
b)
c)
d)
e) 64
Passo 1
O enunciado dá o número complexo
e pede para calcular
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- parte real de
é ; - parte imaginária de
é ; - objetivo: encontrar o valor numérico de
(forma retangular, isto é, uma expressão ou um real se a parte imaginária for zero).
Passo 2
Calcular o módulo de
.
Fórmula: o módulo de um número complexo é
. Aqui
e
. Então
Fórmula: o módulo de um número complexo
Explicação didática: o módulo é a distância do ponto
até a origem no plano complexo. Fizemos o teorema de Pitágoras.
Passo 3
Calcular o argumento (ângulo) de
.
Fórmula: para com
, o argumento principal
satisfaz
. Aqui
Fórmula: para
O ângulo cujo tangente é
no intervalo principal é
. Além disso, como
e
, o ponto está no primeiro quadrante, então
é o argumento correto.
Passo 4
Escrever
na forma polar (ou exponencial) e explicar por que isso ajuda.
A forma polar é e a forma exponencial é
. Com os valores encontrados:
A forma polar é
Por que usar essa forma? Porque existe a identidade (Teorema de De Moivre / propriedade exponencial) que facilita potências: para inteiro
,
Isso transforma elevar um complexo a uma potência em operações simples com números reais e multiplicação de ângulos.
Passo 5
Aplicar a fórmula de potências à nossa situação com
.
Usando ,
Usando
Calcule cada parte separadamente:
e
. Então
Passo 6
Voltar para a forma retangular (a + bi).
Usamos que . Para
sabemos que
e
. Portanto
Usamos que
Interpretação: a potência resultou num número real, pois a parte imaginária é zero.
Passo 7
Conclusão final e checagem rápida: o valor obtido
aparece entre as alternativas fornecidas (é a alternativa e). Está coerente com os cálculos por módulo/ângulo e com a identidade de De Moivre.