Questão 32. Um fluido incompressível, como já discutido, possui um campo de velocidades \vec{u}=\left(u_{1}, u_{2}\right) com divergência nula
\nabla \cdot \vec{u}=\frac{\partial u_{1}}{\partial x}+\frac{\partial u_{2}}{\partial y}=0 .
Definindo o campo auxiliar, \vec{v}=\left(-u_{2}, u_{1}\right), seu rotacional satisfaz
\operatorname{rot} \vec{v}=\nabla \cdot \vec{u}=0
e portanto também é um campo conservativo
\vec{v}=\left(-u_{2}, u_{1}\right)=\nabla \psi=\left(\psi_{x}, \psi_{y}\right)
onde \psi é denominada função corrente. Com a hipótese extra de que o fluido seja irrotacional, ou seja, que sua vorticidade seja nula, \omega=\operatorname{rot} \vec{u}= 0 , concluímos de (27) que a função corrente também satisfaz a equação de Laplace
\nabla^{2} \psi=\psi_{x x}+\psi_{y y}=\frac{\partial u_{1}}{\partial y}-\frac{\partial u_{2}}{\partial x}=-\operatorname{rot} \vec{u}=0
Neste contexto, a função corrente determina completamente o fluxo do fluido, desde que as trajetórias de todas suas partículas ficam confinadas às curvas de nível de \psi(x, y).

Passo 1

O enunciado apresenta um fluido incompressível bidimensional com velocidade \vec{u}=(u_{1},u_{2}) tal que
\nabla\cdot\vec{u}=\frac{\partial u_{1}}{\partial x}+\frac{\partial u_{2}}{\partial y}=0,
define o campo auxiliar \vec{v}=(-u_{2},u_{1}) e mostra que existe uma função corrente \psi tal que
\vec{v}=\nabla\psi=(\psi_{x},\psi_{y}),\quad \nabla^{2}\psi=\psi_{xx}+\psi_{yy}=0
sob a hipótese de fluido irrotacional.

Passo 2

O enunciado não faz nenhum pedido concreto (por exemplo, não pede para determinar uma expressão de \psi ou de \vec{u} em uma situação particular). Apenas apresenta definições e propriedades gerais do fluxo em termos da função corrente.

Resposta

Não é possível dar uma resolução numérica ou simbólica adicional, pois o enunciado não fornece um problema ou condição de contorno específica a ser resolvida.

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