Expresse a função
como a soma de uma série de potências e determine o raio de convergência. ( 3.5 V )
Passo 1
O enunciado pede para escrever
como uma série de potências e determinar seu raio de convergência.
O conteúdo principal é a expansão em série geométrica, derivação termo a termo e reindexação.
O conteúdo principal é a expansão em série geométrica, derivação termo a termo e reindexação.
Passo 2
Recordamos que, para
, vale a série geométrica
Derivando termo a termo em
obtemos
Passo 3
Multiplicando por
segue
Fazendo a troca de índice
(ou seja
), para
, resulta
Passo 4
O raio de convergência da série geométrica
é
.
Como derivação e multiplicação por polinômio não alteram o raio, a expansão de também converge para
, ou seja
.
Como derivação e multiplicação por polinômio não alteram o raio, a expansão de