Expresse a função f(x)=\frac{x^{2}}{(1-x)^{2}} como a soma de uma série de potências e determine o raio de convergência. ( 3.5 V )

Passo 1

O enunciado pede para escrever
f(x)=\frac{x^{2}}{(1-x)^{2}}
como uma série de potências e determinar seu raio de convergência.
O conteúdo principal é a expansão em série geométrica, derivação termo a termo e reindexação.

Passo 2

Recordamos que, para \lvert x\rvert<1, vale a série geométrica
\frac{1}{1 - x} \;=\;\sum_{n=0}^{\infty}x^{n}.
Derivando termo a termo em x obtemos
\frac{d}{dx}\Bigl(\frac{1}{1-x}\Bigr) =\frac{1}{(1-x)^{2}} =\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)\,x^{n}.

Passo 3

Multiplicando por x^{2} segue
f(x)=\frac{x^{2}}{(1-x)^{2}} =x^{2}\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)\,x^{n} =\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)\,x^{n+2}.
Fazendo a troca de índice k=n+2 (ou seja n=k-2), para k\ge2, resulta
f(x)=\sum_{k=2}^{\infty}(k-1)\,x^{k}.

Passo 4

O raio de convergência da série geométrica \sum x^{n} é R=1.
Como derivação e multiplicação por polinômio não alteram o raio, a expansão de f(x) também converge para \lvert x\rvert<1, ou seja R=1.

Resposta

f(x)=\sum_{k=2}^{\infty}(k-1)\,x^{k}, \quad R=1.

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