Teste a natureza das séries:
{ }^{x} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{5^{n}}) (Pelo critério da Razão).

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{5^{n}}
usando o Critério da Razão. Nesse critério, definimos a_{n}=\frac{n!}{5^{n}} e investigamos o limite
L = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|.

Passo 2

Calculamos a razão entre termos consecutivos. Como
a_{n} = \frac{n!}{5^{n}},
temos
\frac{a_{n+1}}{a_{n}} =\frac{\displaystyle\frac{(n+1)!}{5^{\,n+1}}}{\displaystyle\frac{n!}{5^{n}}} =\frac{(n+1)!}{n!}\cdot\frac{5^{n}}{5^{\,n+1}} =\frac{n+1}{5}.

Passo 3

Agora vamos ao limite do critério:
L = \lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{5} = \lim_{n\to\infty}\frac{n}{5} + \frac{1}{5} = +\infty.

Passo 4

Pelo Critério da Razão, se L>1 a série diverge. Aqui L=+\infty>1, logo a série não converge.

Resposta

A série diverge pelo Critério da Razão.

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