Teste a natureza das séries:
{ }^{x} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{5^{n}}) (Pelo critério da Razão).
{ }^{x} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{5^{n}}) (Pelo critério da Razão).
Passo 1
O enunciado pede para testar a convergência da série
usando o Critério da Razão. Nesse critério, definimos
e investigamos o limite
Passo 2
Calculamos a razão entre termos consecutivos. Como
temos
Passo 3
Agora vamos ao limite do critério:
Passo 4
Pelo Critério da Razão, se
a série diverge. Aqui
, logo a série não converge.
Resposta
A série diverge pelo Critério da Razão.