Questão 33: 2 N rapazes e 2 N moças são divididos ao acaso em dois grupos 2 N cada. Qual a probabilidade de que em cada grupo haver tantos rapazes quanto moças?

Passo 1

O enunciado diz que há 2N rapazes e 2N moças, totalizando 4N pessoas, e vamos formar dois grupos de tamanho 2N cada, escolhidos ao acaso. A pergunta é a probabilidade de que cada grupo tenha exatamente N rapazes e N moças.
Conteúdo: contagem de casos (combinações) e probabilidade clássica ( P = nº casos favoráveisnº casos totaisºáº).

Passo 2

Calculamos primeiro o número total de formas de escolher um dos grupos de tamanho 2N (chamemos de “grupo A”). Como escolhemos 2N pessoas dentre as 4N, temos
Total = binom4N2N

Passo 3

Agora contamos as escolhas que fazem o grupo A ter N rapazes e N moças. Temos 2N rapazes no total e queremos escolher N deles, e temos 2N moças no total e queremos escolher N delas. Logo o número de casos favoráveis é
Favorab<= = binom2NNtimesbinom2NN = l[binom2NNr]^2

Passo 4

A probabilidade pedida é a razão entre casos favoráveis e casos totais:
P = Favorab<=Total = l[binom2NNr]^2binom4N2N

Resposta

boxedP = l[binom2NNr]^2binom4N2N

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