Questão 1: (32 pontos) Calcule, se possível, os seguintes limites:
(8 pontos ) \lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{3}-2 x^{2}-x+2}{x^{2}+x-6}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to 2} \frac{x^{3}-2x^{2}-x+2}{x^{2}+x-6}.
O conteúdo aqui é limite de função racional e vamos precisar usar fatoração de polinômios para eliminar a forma indeterminada.

Passo 2

Verificamos a forma usando substituição direta:
\text{numerador em }x=2:~2^{3}-2\cdot2^{2}-2+2 = 8 - 8 - 2 + 2 = 0,
\text{denominador em }x=2:~2^{2}+2-6 = 4 + 2 - 6 = 0.
Como obtemos 0/0, trata-se de uma indeterminação.

Passo 3

Fatoramos numerador e denominador para buscar um fator comum:
x^{3}-2x^{2}-x+2 = (x-2)(x^{2}-1) = (x-2)(x-1)(x+1),
x^{2}+x-6 = (x-2)(x+3).

Passo 4

Cancelamos o fator comum (x-2) e obtemos a forma simplificada
\frac{x^{3}-2x^{2}-x+2}{x^{2}+x-6} = \frac{(x-2)(x-1)(x+1)}{(x-2)(x+3)} = \frac{(x-1)(x+1)}{x+3}.
Agora essa função é continua em x=2, sem indeterminação.

Passo 5

Calculamos o limite da forma simplificada por substituição direta:
\lim_{x\to2} \frac{(x-1)(x+1)}{x+3} = \frac{(2-1)(2+1)}{2+3} = \frac{1\cdot 3}{5} = \frac{3}{5}.

Resposta

\displaystyle \frac{3}{5}

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