Questão 1: (32 pontos) Calcule, se possível, os seguintes limites:
( 8 pontos) \lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{3 x-2}{\sqrt{x^{2}-4}}

Passo 1

O enunciado nos dá o limite \displaystyle \lim_{x\to -\infty}\frac{3x-2}{\sqrt{x^2-4}}
e pede o valor numérico. O conteúdo envolve limites no infinito de funções com raiz quadrada. Vamos usar a ideia de fatorar o maior termo em x tanto no numerador quanto dentro da raiz, além de lembrar que \sqrt{x^2}=|x|.

Passo 2

Fatorando x dentro da raiz, escrevemos
\sqrt{x^2-4} = |x|\sqrt{1-\frac{4}{x^2}}.
Para x\to -\infty, temos |x|=-x. Portanto,
\frac{3x-2}{\sqrt{x^2-4}} = \frac{3x-2}{-x\sqrt{1-\frac{4}{x^2}}} = -\frac{3 - \frac{2}{x}}{\sqrt{1-\frac{4}{x^2}}}.

Passo 3

Ao fazermos x\to -\infty, os termos \tfrac{2}{x} e \tfrac{4}{x^2} tendem a zero. Logo,
-\frac{3 - \tfrac{2}{x}}{\sqrt{1-\tfrac{4}{x^2}}} \;\longrightarrow\; -\frac{3}{1} = -3.

Resposta

-3

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