QUESTÃO 33 - Uma equipe de estudantes do IFAL está desenvolvendo um modelo de inteligência artificial para prever o consumo de energia em um laboratório. O consumo total é estimado por um modelo polinomial que considera o número de dispositivos ligados, x, e o tempo de uso em horas, y. O polinômio que modela o consumo de energia, medido em kWh, é dado por:
P(x, y)=2 x^{2}+3 x y-4 y^{2}+5
Passo 1
O enunciado forneceu apenas o polinômio que modela o consumo de energia:
P(x,y)=2x^{2}+3xy-4y^{2}+5
Informações dadas:
\text{expressão de }P(x,y)\text{ em termos de }x\text{ e }y.
O enunciado não diz explicitamente o que pedir (por exemplo: calcular derivadas parciais, encontrar pontos críticos e classificá‑los, desenhar curvas de nível, etc.). Como o tipo de polinômio e o contexto (modelo dependendo de x e y) são típicos de exercícios que pedem pontos críticos e classificação (isso aparece muito em provas de cálculo multivariável), eu vou resolver esse problema comum: encontrar os pontos críticos de P e classificá‑los (máximo, mínimo ou sela). Escolhi esse objetivo porque é um pedido padrão e exige os conceitos fundamentais que costumam ser cobrados; se você queria outra coisa (por exemplo, derivada direcional em uma direção), eu consigo adaptar, mas não vou pedir nada — sigo com a classificação de pontos críticos.
Passo 2
Primeiro precisamos das derivadas parciais de P. Vou explicar o que é derivada parcial: a derivada parcial de P em relação a x, denotada \partial P/\partial x, mede como P varia quando alteramos x mantendo y fixo; análoga para \partial P/\partial y. Para funções polinomiais, derivamos termo a termo tratando a outra variável como constante.
Derivando termo a termo: \frac{\partial}{\partial x}(2x^{2})=4x. Para 3xy, y é constante então \frac{\partial}{\partial x}(3xy)=3y. Para -4y^{2} e 5, como não dependem de x, suas derivadas parciais em x são 0. Logo
Derivando termo a termo: \frac{\partial}{\partial y}(2x^{2})=0 (pois x é tratado como constante), \frac{\partial}{\partial y}(3xy)=3x, e \frac{\partial}{\partial y}(-4y^{2})=-8y. Assim
\frac{\partial P}{\partial y}=3x-8y.
A partir dessas duas derivadas parciais formamos o gradiente:
\nabla P(x,y)=\bigl(4x+3y,\;3x-8y\bigr).
Passo 3
Pontos críticos são pontos onde o gradiente é o vetor zero (ou onde as derivadas parciais não existem, o que não é o caso aqui). Então resolvemos o sistema:
Vou resolver passo a passo: uma técnica prática é eliminar uma variável. Multiplico a primeira equação por 3\) e a segunda por \(4\) para igualar os coeficientes de \(x\):
\[\begin{cases} 12x+9y=0,\\[4pt] 12x-32y=0. \end{cases}
Agora subtraio a segunda da primeira para eliminar x\]:
\[(12x+9y)-(12x-32y)=0-0 \quad\Rightarrow\quad 9y+32y=41y=0.\]
Logo
\[y=0.\]
Substituo \(y=0 em uma das equações originais, por exemplo 4x+3y=0:
Agora precisamos classificar o ponto crítico. Para isso usamos as segundas derivadas e o teste da matriz Hessiana. Vou explicar o que é a Hessiana: é a matriz das segundas derivadas parciais
Para funções suaves de duas variáveis, a condição mista é igual (\partial^{2}P/\partial x\partial y=\partial^{2}P/\partial y\partial x). O teste de segunda derivada (mercado nas provas) diz: no ponto crítico (x_{0},y_{0}) calcule
Interpretação e dica para prova (curta e prática):
Regra rápida: calcule \nabla P e resolva \nabla P=0 para achar candidatos. Em polinômios quadráticos isso vira um sistema linear fácil.
Para classificar, calcule a Hessiana; se seu determinante for negativo, já pode responder “sela” sem analisar mais.
Sempre anote o valor de P no ponto crítico, pois pode ser pedido.
Exemplo rápido extra (para fixar): se tivesse Q(x,y)=x^{2}+y^{2}, então \nabla Q=(2x,2y) ⇒ ponto crítico em (0,0); Hessiana \begin{pmatrix}2&0\\\ 0&2\end{pmatrix} tem D=4>0 e Q_{xx}=2>0, logo mínimo em (0,0). Isso mostra a mecânica do procedimento.
Resposta
O ponto crítico é (0,0) e é um ponto de sela. \;P(0,0)=5.