QUESTÃO 33 - Uma equipe de estudantes do IFAL está desenvolvendo um modelo de inteligência artificial para prever o consumo de energia em um laboratório. O consumo total é estimado por um modelo polinomial que considera o número de dispositivos ligados, x, e o tempo de uso em horas, y. O polinômio que modela o consumo de energia, medido em kWh, é dado por:
P(x, y)=2 x^{2}+3 x y-4 y^{2}+5

Passo 1

O enunciado forneceu apenas o polinômio que modela o consumo de energia:
P(x,y)=2x^{2}+3xy-4y^{2}+5
Informações dadas:
\text{expressão de }P(x,y)\text{ em termos de }x\text{ e }y.ã
O enunciado não diz explicitamente o que pedir (por exemplo: calcular derivadas parciais, encontrar pontos críticos e classificá‑los, desenhar curvas de nível, etc.). Como o tipo de polinômio e o contexto (modelo dependendo de x e y) são típicos de exercícios que pedem pontos críticos e classificação (isso aparece muito em provas de cálculo multivariável), eu vou resolver esse problema comum: encontrar os pontos críticos de P e classificá‑los (máximo, mínimo ou sela). Escolhi esse objetivo porque é um pedido padrão e exige os conceitos fundamentais que costumam ser cobrados; se você queria outra coisa (por exemplo, derivada direcional em uma direção), eu consigo adaptar, mas não vou pedir nada — sigo com a classificação de pontos críticos.

Passo 2

Primeiro precisamos das derivadas parciais de P. Vou explicar o que é derivada parcial: a derivada parcial de P em relação a x, denotada \partial P/\partial x, mede como P varia quando alteramos x mantendo y fixo; análoga para \partial P/\partial y. Para funções polinomiais, derivamos termo a termo tratando a outra variável como constante.
Calculemos:
  • Derivada parcial em relação a x:
\frac{\partial P}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(2x^{2}+3xy-4y^{2}+5\bigr).
Derivando termo a termo: \frac{\partial}{\partial x}(2x^{2})=4x. Para 3xy, y é constante então \frac{\partial}{\partial x}(3xy)=3y. Para -4y^{2} e 5, como não dependem de x, suas derivadas parciais em x são 0. Logo
\frac{\partial P}{\partial x}=4x+3y.
  • Derivada parcial em relação a y:
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(2x^{2}+3xy-4y^{2}+5\bigr).
Derivando termo a termo: \frac{\partial}{\partial y}(2x^{2})=0 (pois x é tratado como constante), \frac{\partial}{\partial y}(3xy)=3x, e \frac{\partial}{\partial y}(-4y^{2})=-8y. Assim
\frac{\partial P}{\partial y}=3x-8y.
A partir dessas duas derivadas parciais formamos o gradiente:
\nabla P(x,y)=\bigl(4x+3y,\;3x-8y\bigr).

Passo 3

Pontos críticos são pontos onde o gradiente é o vetor zero (ou onde as derivadas parciais não existem, o que não é o caso aqui). Então resolvemos o sistema:
\begin{cases} 4x+3y=0,\\[4pt] 3x-8y=0. \end{cases}
Vou resolver passo a passo: uma técnica prática é eliminar uma variável. Multiplico a primeira equação por 3\) e a segunda por \(4\) para igualar os coeficientes de \(x\): \[\begin{cases} 12x+9y=0,\\[4pt] 12x-32y=0. \end{cases}
Agora subtraio a segunda da primeira para eliminar x\]: \[(12x+9y)-(12x-32y)=0-0 \quad\Rightarrow\quad 9y+32y=41y=0.\] Logo \[y=0.\] Substituo \(y=0 em uma das equações originais, por exemplo 4x+3y=0:
4x+3\cdot 0=0 \quad\Rightarrow\quad 4x=0 \quad\Rightarrow\quad x=0.
Portanto há um único ponto crítico:
(x,y)=(0,0).]

Passo 4

Agora precisamos classificar o ponto crítico. Para isso usamos as segundas derivadas e o teste da matriz Hessiana. Vou explicar o que é a Hessiana: é a matriz das segundas derivadas parciais
H(x,y)=\begin{pmatrix} \frac{\partial^{2}P}{\partial x^{2}} & \frac{\partial^{2}P}{\partial x\partial y}\\[6pt] \frac{\partial^{2}P}{\partial y\partial x} & \frac{\partial^{2}P}{\partial y^{2}} \end{pmatrix}.
Para funções suaves de duas variáveis, a condição mista é igual ( \partial^{2}P/\partial x\partial y=\partial^{2}P/\partial y\partial x). O teste de segunda derivada (mercado nas provas) diz: no ponto crítico (x_{0},y_{0}) calcule
D=\left.\frac{\partial^{2}P}{\partial x^{2}}\right|_{(x_{0},y_{0})}\cdot\left.\frac{\partial^{2}P}{\partial y^{2}}\right|_{(x_{0},y_{0})}-\left(\left.\frac{\partial^{2}P}{\partial x\partial y}\right|_{(x_{0},y_{0})}\right)^{2}.
  • Se D>0 e \partial^{2}P/\partial x^{2}>0 então é mínimo local.
  • Se D>0 e \partial^{2}P/\partial x^{2}<0 então é máximo local.
  • Se D<0 então é ponto de sela.
  • Se D=0 o teste é inconclusivo.]

Passo 5

Calculemos as segundas derivadas de P:
  • Já tínhamos \frac{\partial P}{\partial x}=4x+3y. Derivando em x novamente:
\frac{\partial^{2}P}{\partial x^{2}}=4.
  • Derivando \frac{\partial P}{\partial y}=3x-8y em y:
\frac{\partial^{2}P}{\partial y^{2}}=-8.
  • A derivada mista, por exemplo \frac{\partial}{\partial y}\bigl(\frac{\partial P}{\partial x}\bigr)=\frac{\partial}{\partial y}(4x+3y)=3. Assim
\frac{\partial^{2}P}{\partial x\partial y}=3.
No ponto (0,0) esses valores são os mesmos (são constantes):
\left.\frac{\partial^{2}P}{\partial x^{2}}\right|_{(0,0)}=4,\quad \left.\frac{\partial^{2}P}{\partial y^{2}}\right|_{(0,0)}=-8,\quad \left.\frac{\partial^{2}P}{\partial x\partial y}\right|_{(0,0)}=3.
Calcule D:
D = 4\cdot(-8) - 3^{2} = -32 - 9 = -41.
Como D=-41<0, pelo teste de segunda derivada o ponto crítico (0,0) é um ponto de sela (não é máximo nem mínimo local).
Também podemos anotar o valor de P no ponto:
P(0,0)=2\cdot 0^{2}+3\cdot 0\cdot 0-4\cdot 0^{2}+5=5.

Passo 6

Interpretação e dica para prova (curta e prática):
  • Regra rápida: calcule \nabla P e resolva \nabla P=0 para achar candidatos. Em polinômios quadráticos isso vira um sistema linear fácil.
  • Para classificar, calcule a Hessiana; se seu determinante for negativo, já pode responder “sela” sem analisar mais.
  • Sempre anote o valor de P no ponto crítico, pois pode ser pedido.
Exemplo rápido extra (para fixar): se tivesse Q(x,y)=x^{2}+y^{2}, então \nabla Q=(2x,2y) ⇒ ponto crítico em (0,0); Hessiana \begin{pmatrix}2&0\\\ 0&2\end{pmatrix} tem D=4>0 e Q_{xx}=2>0, logo mínimo em (0,0). Isso mostra a mecânica do procedimento.

Resposta

O ponto crítico é (0,0) e é um ponto de sela. \;P(0,0)=5.

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