QUESTÃO 28 - Em um festival de cultura, são cobrados dois tipos de entrada: R$20,00 para quem for prestigiar apenas os espetáculos musicais e outro, custando \mathrm{R} \$\( 30,00 , para quem escolher prestigiar os espetáculos de música e dança. Um grupo de dez amigos resolveu ir ao festival e gastou um total de \)\mathrm{R} \$ 260,00 em 10 ingressos. Quantas pessoas desse grupo irão prestigiar tanto as atrações musicais como também as de dança?
a) 4
b) 5
c) 6
d) 8

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Há dois tipos de ingresso: R\$20,00 para quem vai apenas aos espetáculos musicais e R\$30,00 para quem vai aos espetáculos de música e dança.
  • Um grupo de 10 amigos comprou 10 ingressos no total.
  • O gasto total com os 10 ingressos foi R\$260,00.
O que o problema pergunta:
  • Quantas pessoas do grupo (entre os 10) irão prestigiar tanto música quanto dança?

Passo 2

Vamos definir uma variável para traduzir o enunciado em equações:
  • Seja x o número de pessoas que prestigiam tanto música quanto dança (ou seja, o número de ingressos de R\$30,00).
  • Observação: x é um número inteiro e deve satisfazer 0\le x\le 10.

Passo 3

Determine o número de pessoas que vão apenas aos espetáculos musicais:
  • Se x pessoas compraram ingresso de R\$30,00, então o número de pessoas que compraram ingresso de R\$20,00 é 10-x.

Passo 4

Monte a equação do gasto total somando as contribuições de cada tipo de ingresso:
  • Cada uma das x pessoas de dupla atração pagou R\$30,00, contribuindo 30x para o total.
  • Cada uma das 10-x pessoas que só vão à música pagou R\$20,00, contribuindo 20(10-x) para o total.
  • Assim a soma dos gastos é
30x + 20(10-x).
Essa soma deve ser igual ao gasto total R\$260,00. Logo a equação é
30x + 20(10-x) = 260.

Passo 5

Resolva a equação passo a passo:
  • Primeiro, distribua 20 em 20(10-x):
30x + 200 - 20x = 260.
  • Combine os termos semelhantes em x:
(30x - 20x) + 200 = 260
10x + 200 = 260.
  • Subtraia 200 dos dois lados para isolar o termo em x:
10x = 260 - 200
10x = 60.
  • Divida ambos os lados por 10:
x = \frac{60}{10} = 6.

Passo 6

Verifique rapidamente que a solução faz sentido:
  • 6 pessoas pagando R\$30,00 gastam 6\cdot30 = R\$180,00.
  • As outras 10-6=4 pessoas pagando R\$20,00 gastam 4\cdot20 = R\$80,00.
  • Soma: R\$180,00 + R\$80,00 = R\$260,00, que é exatamente o total dado. A solução é consistente e x=6 está no intervalo permitido.

Passo 7

Dica rápida e intuitiva que você pode usar na prova (atalho):
  • Se todos pagassem R\$20,00 o total seria 10\cdot20 = R\$200,00.
  • O grupo pagou R\$260,00, ou seja, R\$60,00 a mais que R\$200,00.
  • Cada pessoa que paga R\$30,00 paga R\$10,00 a mais do que uma pessoa que paga R\$20,00.
  • Portanto o número de pessoas que pagaram R\$30,00 é 60/10 = 6. É o mesmo resultado, mas mais rápido na hora da prova.

Resposta

c) 6

Exercícios relacionados