Questão 34

Um quadrilátero A B C D possui fixos os vértices A(12,0), \mathrm{B}(0,0) e \mathrm{D}(16,8). O comprimento do lado BC permanece constante e igual a 4 unidades. Sabendo-se que o lugar geométrico (conjunto de pontos que seguem determinada regra) do ponto médio do segmento de reta que liga os pontos médios das diagonais A C e B D é uma circunferência, o par ordenado do centro desta circunferência, bem como o seu raio são, respectivamente:
(A) \mathrm{C}(14,-1) e \mathrm{R}=10
(B) C(7,2) e R=1
(C) C(-1,0) e R=2
(D) C(8,4) e R=4
(E) C(6,2) e R=16

Passo 1

O enunciado dá os vértices fixos A(12,0), B(0,0) e D(16,8). O vértice C é móvel, mas o comprimento do lado BC é constante e igual a 4.
O que a questão pede: determinar o par ordenado do centro e o raio da circunferência que é o lugar geométrico do ponto médio do segmento que une os pontos médios das diagonais AC e BD.
Informações relevantes dadas:
  • A=(12,0).
  • B=(0,0).
  • D=(16,8).
  • BC=4 (fixo), portanto C satisfaz a equação de círculo centrado em B com raio 4.

Passo 2

Primeiro, vou calcular o ponto médio da diagonal BD. Lembrete da fórmula do ponto médio: dado dois pontos (x_1,y_1) e (x_2,y_2), o ponto médio é
\left(\frac{x_1+x_2}{2},\;\frac{y_1+y_2}{2}\right).
Aplicando a B(0,0) e D(16,8):
M_{BD}=\left(\frac{0+16}{2},\;\frac{0+8}{2}\right)=\left(8,4\right).
Observação: esse ponto é fixo porque B e D são fixos.

Passo 3

Como BC=4 e B=(0,0), os possíveis pontos C=(x,y) satisfazem a equação do círculo centrado em B com raio 4:
x^{2}+y^{2}=4^{2}=16.
Ou seja, o conjunto de todos os C é a circunferência de centro (0,0) e raio 4.

Passo 4

Agora calculo o ponto médio da diagonal AC. Para A(12,0) e C(x,y),
M_{AC}=\left(\frac{12+x}{2},\;\frac{0+y}{2}\right)=\left(\frac{12+x}{2},\;\frac{y}{2}\right).
Expliquei passo a passo: somei as coordenadas correspondentes e dividi por 2.

Passo 5

Chamemos P o ponto médio do segmento que une M_{AC} e M_{BD}. Usando novamente a fórmula do ponto médio, com M_{AC}=\left(\dfrac{12+x}{2},\dfrac{y}{2}\right) e M_{BD}=(8,4), obtemos
P=\left(\frac{\dfrac{12+x}{2}+8}{2},\;\frac{\dfrac{y}{2}+4}{2}\right).
Agora simplifico coordenada a coordenada. Para a abscissa:
\frac{\dfrac{12+x}{2}+8}{2}=\frac{\dfrac{12+x+16}{2}}{2}=\frac{28+x}{4}=\frac{x+28}{4}.
Para a ordenada:
\frac{\dfrac{y}{2}+4}{2}=\frac{\dfrac{y+8}{2}}{2}=\frac{y+8}{4}.
Portanto
P=\left(\frac{x+28}{4},\;\frac{y+8}{4}\right).

Passo 6

Reescrevo P de forma que fique claro o efeito sobre (x,y):
P=\left(\frac{x}{4}+7,\;\frac{y}{4}+2\right).
Isto mostra que o mapeamento (x,y)\mapsto P é uma homotetia de razão \frac{1}{4} seguida de uma translação de vetor (7,2). Assim a circunferência dos possíveis C (centro (0,0), raio 4) é transformada em outra circunferência cujo centro é a imagem de (0,0) e cujo raio é \tfrac{1}{4} vezes o original. Logo:
  • centro da imagem = \left(\dfrac{0}{4}+7,\;\dfrac{0}{4}+2\right)=(7,2);
  • raio da imagem = \dfrac{1}{4}\times 4 =1.
Para checar algebricamente, substituo x=4(u-7) e y=4(v-2) a partir de u=\dfrac{x}{4}+7,\;v=\dfrac{y}{4}+2. Como x^{2}+y^{2}=16,
(x/4)^{2}+(y/4)^{2}=\frac{x^{2}+y^{2}}{16}=\frac{16}{16}=1,
ou seja
(u-7)^{2}+(v-2)^{2}=1,
o que confirma que o lugar geométrico é a circunferência de centro (7,2) e raio 1.

Passo 7

Comparando com as alternativas, a opção correta é a que apresenta centro (7,2) e raio 1, que é a alternativa (B).

Resposta

C(7,2) e R=1

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