Um quadrilátero A B C D possui fixos os vértices A(12,0), \mathrm{B}(0,0) e \mathrm{D}(16,8). O comprimento do lado BC permanece constante e igual a 4 unidades. Sabendo-se que o lugar geométrico (conjunto de pontos que seguem determinada regra) do ponto médio do segmento de reta que liga os pontos médios das diagonais A C e B D é uma circunferência, o par ordenado do centro desta circunferência, bem como o seu raio são, respectivamente:
(A) \mathrm{C}(14,-1) e \mathrm{R}=10
(B) C(7,2) e R=1
(C) C(-1,0) e R=2
(D) C(8,4) e R=4
(E) C(6,2) e R=16
Passo 1
O enunciado dá os vértices fixos A(12,0), B(0,0) e D(16,8). O vértice C é móvel, mas o comprimento do lado BC é constante e igual a 4.
O que a questão pede: determinar o par ordenado do centro e o raio da circunferência que é o lugar geométrico do ponto médio do segmento que une os pontos médios das diagonais AC e BD.
Informações relevantes dadas:
A=(12,0).
B=(0,0).
D=(16,8).
BC=4 (fixo), portanto C satisfaz a equação de círculo centrado em B com raio 4.
Passo 2
Primeiro, vou calcular o ponto médio da diagonal BD. Lembrete da fórmula do ponto médio: dado dois pontos (x_1,y_1) e (x_2,y_2), o ponto médio é
Expliquei passo a passo: somei as coordenadas correspondentes e dividi por 2.
Passo 5
Chamemos P o ponto médio do segmento que une M_{AC} e M_{BD}. Usando novamente a fórmula do ponto médio, com M_{AC}=\left(\dfrac{12+x}{2},\dfrac{y}{2}\right) e M_{BD}=(8,4), obtemos
Reescrevo P de forma que fique claro o efeito sobre (x,y):
P=\left(\frac{x}{4}+7,\;\frac{y}{4}+2\right).
Isto mostra que o mapeamento (x,y)\mapsto P é uma homotetia de razão \frac{1}{4} seguida de uma translação de vetor (7,2). Assim a circunferência dos possíveis C (centro (0,0), raio 4) é transformada em outra circunferência cujo centro é a imagem de (0,0) e cujo raio é \tfrac{1}{4} vezes o original. Logo:
centro da imagem = \left(\dfrac{0}{4}+7,\;\dfrac{0}{4}+2\right)=(7,2);
raio da imagem = \dfrac{1}{4}\times 4 =1.
Para checar algebricamente, substituo x=4(u-7) e y=4(v-2) a partir de u=\dfrac{x}{4}+7,\;v=\dfrac{y}{4}+2. Como x^{2}+y^{2}=16,