Questão 33. Use as matrizes A=\left[\begin{array}{ll}3 & 1 \\\\ 5 & 2\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{cc}2 & 4 \\\\ -3 & 4\end{array}\right] e C=\left[\begin{array}{cc}6 & 4 \\\\ -2 & -1\end{array}\right] para verificar que:
(A B)^{-1}=B^{-1} A^{-1}

Passo 1

O enunciado dá as matrizes
A=\begin{pmatrix}3 & 1\\[4pt]5 & 2\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}2 & 4\\[4pt]-3 & 4\end{pmatrix},\qquad C=\begin{pmatrix}6 & 4\\[4pt]-2 & -1\end{pmatrix}
e pede para verificar a igualdade
(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}.
As informações relevantes: as matrizes A e B são 2\times2 e será necessário calcular inversas e produto de matrizes para mostrar a igualdade. Nada mais é pedido.]

Passo 2

Primeiro, lembrar a fórmula prática para a inversa de uma matriz 2\times2. Para uma matriz genérica
M=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix},
o determinante é \det(M)=ad-bc. Se \det(M)\neq 0, então M é invertível e
M^{-1}=\frac{1}{\det(M)}\begin{pmatrix}d & -b\\[4pt]-c & a\end{pmatrix}.
Aqui cada símbolo significa: a,b,c,d são os elementos da matriz M, \det(M) é o determinante e o fator 1/\det(M) escala a matriz adjunta para obter a inversa.
Aplicaremos essa fórmula a A e B e também a AB. Antes, calculo os determinantes de A e B para garantir que são invertíveis.
Calcular \det(A):
\det(A)=3\cdot2-1\cdot5=6-5=1.
Como \det(A)=1\neq0, A é invertível.
Calcular \det(B):
\det(B)=2\cdot4-4\cdot(-3)=8+12=20.
Como \det(B)=20\neq0, B é invertível.
Bom: ambas têm inversa e podemos prosseguir.]

Passo 3

Calcular A^{-1} usando a fórmula do passo anterior. Para A temos a=3, b=1, c=5, d=2 e \det(A)=1. Logo
A^{-1}=\frac{1}{1}\begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt]-5 & 3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt]-5 & 3\end{pmatrix}.]

Passo 4

Calcular B^{-1}. Para B temos a=2, b=4, c=-3, d=4 e \det(B)=20. Assim
B^{-1}=\frac{1}{20}\begin{pmatrix}4 & -4\\[4pt]3 & 2\end{pmatrix}.
Se quiser, pode-se escrever os elementos em frações:
B^{-1}=\begin{pmatrix}4/20 & -4/20\\[4pt]3/20 & 2/20\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1/5 & -1/5\\[4pt]3/20 & 1/10\end{pmatrix}.]

Passo 5

Calcular o produto AB explicitamente para depois inverter:
AB=\begin{pmatrix}3 & 1\\[4pt]5 & 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2 & 4\\[4pt]-3 & 4\end{pmatrix}.
Fazendo a multiplicação linha×coluna:
  • entrada (1,1): 3\cdot2+1\cdot(-3)=6-3=3.
  • entrada (1,2): 3\cdot4+1\cdot4=12+4=16.
  • entrada (2,1): 5\cdot2+2\cdot(-3)=10-6=4.
  • entrada (2,2): 5\cdot4+2\cdot4=20+8=28.
Portanto
AB=\begin{pmatrix}3 & 16\\[4pt]4 & 28\end{pmatrix}.]

Passo 6

Calcular (AB)^{-1} pela fórmula de 2\times2. Primeiro o determinante de AB:
\det(AB)=3\cdot28-16\cdot4=84-64=20.
Como \det(AB)=20\neq0, AB é invertível e
(AB)^{-1}=\frac{1}{20}\begin{pmatrix}28 & -16\\[4pt]-4 & 3\end{pmatrix}.
Podemos também escrever em frações reduzidas:
(AB)^{-1}=\begin{pmatrix}28/20 & -16/20\\[4pt]-4/20 & 3/20\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}7/5 & -4/5\\[4pt]-1/5 & 3/20\end{pmatrix}.]

Passo 7

Agora calcular B^{-1}A^{-1} e comparar com (AB)^{-1}. Usarei a forma escalada de B^{-1}:
B^{-1}A^{-1}=\frac{1}{20}\begin{pmatrix}4 & -4\\[4pt]3 & 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt]-5 & 3\end{pmatrix}.
Multiplicando as duas matrizes (antes de aplicar o 1/20):
  • entrada (1,1): 4\cdot2+(-4)\cdot(-5)=8+20=28.
  • entrada (1,2): 4\cdot(-1)+(-4)\cdot3=-4-12=-16.
  • entrada (2,1): 3\cdot2+2\cdot(-5)=6-10=-4.
  • entrada (2,2): 3\cdot(-1)+2\cdot3=-3+6=3.
Logo a matriz produto é
\begin{pmatrix}28 & -16\\[4pt]-4 & 3\end{pmatrix},
e aplicando o fator 1/20 obtemos
B^{-1}A^{-1}=\frac{1}{20}\begin{pmatrix}28 & -16\\[4pt]-4 & 3\end{pmatrix}.
Comparando com o resultado do Passo 6 vemos que
(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}.]

Passo 8

Interpretação geral (explicação conceitual curta e didática): a propriedade verificada é válida para quaisquer matrizes quadradas invertíveis. Uma maneira curta de ver isso é multiplicar B^{-1}A^{-1} por AB:
(B^{-1}A^{-1})(AB)=B^{-1}(A^{-1}A)B=B^{-1}IB=B^{-1}B=I,
e pelo mesmo raciocínio (AB)(B^{-1}A^{-1})=I. Assim B^{-1}A^{-1} é o inverso de AB, isto é (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}. No exercício mostramos isso explicitamente com cálculos numéricos.

Resposta

(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}=\frac{1}{20}\begin{pmatrix}28 & -16\\[4pt]-4 & 3\end{pmatrix}.]

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