As informações relevantes: as matrizes A e B são 2\times2 e será necessário calcular inversas e produto de matrizes para mostrar a igualdade. Nada mais é pedido.]
Passo 2
Primeiro, lembrar a fórmula prática para a inversa de uma matriz 2\times2. Para uma matriz genérica
M=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix},
o determinante é \det(M)=ad-bc. Se \det(M)\neq 0, então M é invertível e
Aqui cada símbolo significa: a,b,c,d são os elementos da matriz M, \det(M) é o determinante e o fator 1/\det(M) escala a matriz adjunta para obter a inversa.
Aplicaremos essa fórmula a A e B e também a AB. Antes, calculo os determinantes de A e B para garantir que são invertíveis.
Calcular \det(A):
\det(A)=3\cdot2-1\cdot5=6-5=1.
Como \det(A)=1\neq0, A é invertível.
Calcular \det(B):
\det(B)=2\cdot4-4\cdot(-3)=8+12=20.
Como \det(B)=20\neq0, B é invertível.
Bom: ambas têm inversa e podemos prosseguir.]
Passo 3
Calcular A^{-1} usando a fórmula do passo anterior. Para A temos a=3, b=1, c=5, d=2 e \det(A)=1. Logo
Interpretação geral (explicação conceitual curta e didática): a propriedade verificada é válida para quaisquer matrizes quadradas invertíveis. Uma maneira curta de ver isso é multiplicar B^{-1}A^{-1} por AB:
e pelo mesmo raciocínio (AB)(B^{-1}A^{-1})=I. Assim B^{-1}A^{-1} é o inverso de AB, isto é (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}. No exercício mostramos isso explicitamente com cálculos numéricos.