Questão 33. Use as matrizes A=\left[\begin{array}{ll}3 & 1 \\\\ 5 & 2\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{cc}2 & 4 \\\\ -3 & 4\end{array}\right] e C=\left[\begin{array}{cc}6 & 4 \\\\ -2 & -1\end{array}\right] para verificar que:
\left(A^{t}\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{t}.

Passo 1

O enunciado fornece três matrizes
A=\begin{bmatrix}3 & 1\\[4pt]5 & 2\end{bmatrix},\qquad B=\begin{bmatrix}2 & 4\\[4pt]-3 & 4\end{bmatrix},\qquad C=\begin{bmatrix}6 & 4\\[4pt]-2 & -1\end{bmatrix}
e pede para verificar a igualdade
\left(A^{t}\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{t}.
Informações relevantes dadas:
  • As entradas da matriz A estão explícitas (veja acima).
  • As matrizes B e C foram fornecidas no enunciado, mas a verificação solicitada envolve apenas A.
  • A tarefa é calcular e comparar \left(A^{t}\right)^{-1} e \left(A^{-1}\right)^{t}.]

Passo 2

O que significa calcular transposta e inversa (recap rápido e fórmula usada).
  • Transposta: para uma matriz M=\begin{bmatrix}m_{11}&m_{12}\\[4pt]m_{21}&m_{22}\end{bmatrix}, a transposta M^{t} troca linhas por colunas:
M^{t}=\begin{bmatrix}m_{11}&m_{21}\\[4pt]m_{12}&m_{22}\end{bmatrix}.
  • Inversa (caso 2×2): para uma matriz M=\begin{bmatrix}a&b\\[4pt]c&d\end{bmatrix} com determinante \det(M)=ad-bc\neq0, a inversa é dada por
M^{-1}=\frac{1}{\det(M)}\begin{bmatrix}d & -b\\[4pt]-c & a\end{bmatrix}.
Explicando cada símbolo: a,b,c,d são as entradas de M; \det(M) é o número ad-bc. Só existe inversa se \det(M)\neq0.
Vou aplicar essas definições passo a passo em A.]

Passo 3

Calcular a transposta de A.
Usando a definição de transposta, para
A=\begin{bmatrix}3 & 1\\[4pt]5 & 2\end{bmatrix}
temos
A^{t}=\begin{bmatrix}3 & 5\\[4pt]1 & 2\end{bmatrix}.]

Passo 4

Verificar que A é invertível (calcular o determinante).
Calcular \det(A):
\det(A)=3\cdot2-1\cdot5=6-5=1.
Como \det(A)=1\neq0, A é invertível. Observação útil: \det(A^{t})=\det(A), então \det(A^{t})=1 também, o que garante que A^{t} é invertível.

Passo 5

Calcular \left(A^{t}\right)^{-1} usando a fórmula da inversa para 2×2.
Para A^{t}=\begin{bmatrix}3&5\\[4pt]1&2\end{bmatrix} temos a=3,b=5,c=1,d=2 e \det(A^{t})=1. Pela fórmula:
\left(A^{t}\right)^{-1}=\frac{1}{1}\begin{bmatrix}2 & -5\\[4pt]-1 & 3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2 & -5\\[4pt]-1 & 3\end{bmatrix}.]

Passo 6

Calcular A^{-1} usando a mesma fórmula aplicada a A.
Para A=\begin{bmatrix}3&1\\[4pt]5&2\end{bmatrix} tem-se a=3,b=1,c=5,d=2 e \det(A)=1. Então
A^{-1}=\frac{1}{1}\begin{bmatrix}2 & -1\\[4pt]-5 & 3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2 & -1\\[4pt]-5 & 3\end{bmatrix}.]

Passo 7

Calcular a transposta de A^{-1}, isto é \left(A^{-1}\right)^{t}.
Transpondo a matriz A^{-1}=\begin{bmatrix}2 & -1\\[4pt]-5 & 3\end{bmatrix} obtemos
\left(A^{-1}\right)^{t}=\begin{bmatrix}2 & -5\\[4pt]-1 & 3\end{bmatrix}.]

Passo 8

Comparar os resultados e concluir.
Dos passos anteriores:
\left(A^{t}\right)^{-1}=\begin{bmatrix}2 & -5\\[4pt]-1 & 3\end{bmatrix}, \qquad \left(A^{-1}\right)^{t}=\begin{bmatrix}2 & -5\\[4pt]-1 & 3\end{bmatrix}.
As duas matrizes são iguais, portanto a igualdade pedida está verificada neste caso numérico.
Observação final (intuição geral): em geral, para qualquer matriz inversível A vale \left(A^{t}\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{t}. Uma maneira rápida de ver isso é transpor ambos os lados da igualdade A A^{-1}=I para obter (A^{-1})^{t} A^{t}=I, que mostra que (A^{-1})^{t} é a inversa de A^{t}.]

Resposta

\left(A^{t}\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{t}=\begin{bmatrix}2 & -5\\[4pt]-1 & 3\end{bmatrix}]

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