Questão 33. Use as matrizes
e
para verificar que:
.
Passo 1
O enunciado fornece três matrizes
e pede para verificar a igualdade
Informações relevantes dadas:
- As entradas da matriz
estão explícitas (veja acima). - As matrizes
e foram fornecidas no enunciado, mas a verificação solicitada envolve apenas . - A tarefa é calcular e comparar
e .]
Passo 2
O que significa calcular transposta e inversa (recap rápido e fórmula usada).
- Transposta: para uma matriz
, a transposta troca linhas por colunas:
- Inversa (caso 2×2): para uma matriz
com determinante , a inversa é dada por
Explicando cada símbolo:
são as entradas de
;
é o número
. Só existe inversa se
.
Vou aplicar essas definições passo a passo em
.]
Passo 3
Calcular a transposta de
.
Usando a definição de transposta, para
temos
Passo 4
Verificar que
é invertível (calcular o determinante).
Calcular
:
Como
,
é invertível. Observação útil:
, então
também, o que garante que
é invertível.
Passo 5
Calcular
usando a fórmula da inversa para 2×2.
Para
temos
e
. Pela fórmula:
Passo 6
Calcular
usando a mesma fórmula aplicada a
.
Para
tem-se
e
. Então
Passo 7
Calcular a transposta de
, isto é
.
Transpondo a matriz
obtemos
Passo 8
Comparar os resultados e concluir.
Dos passos anteriores:
As duas matrizes são iguais, portanto a igualdade pedida está verificada neste caso numérico.
Observação final (intuição geral): em geral, para qualquer matriz inversível
vale
. Uma maneira rápida de ver isso é transpor ambos os lados da igualdade
para obter
, que mostra que
é a inversa de
.]