Questão 32. Encontre as matrizes inversas das matrizes invertíveis da Questão 31 usando a matriz adjunta. Para as matrizes que não são invertíveis, calcule o determinante para comprovar.

Passo 1

O enunciado pede: “Encontre as matrizes inversas das matrizes invertíveis da Questão 31 usando a matriz adjunta. Para as matrizes que não são invertíveis, calcule o determinante para comprovar.”
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • Deve-se usar a matriz adjunta (adjugate) para obter as inversas.
  • Para matrizes não invertíveis, precisa-se calcular o determinante para comprovar que são não invertíveis.
Informação essencial que falta:
  • As matrizes listadas na Questão 31 não foram fornecidas aqui. Sem essas matrizes não é possível calcular as inversas nem os determinantes pedidos.

Passo 2

Como as matrizes específicas não foram fornecidas, não posso entregar os cálculos finais pedidos. Em vez disso, vou:
  • Explicar passo a passo e didaticamente como usar a matriz adjunta para obter a inversa de uma matriz quadrada (procedimento que o professor espera).
  • Fazer um exemplo completo e explicado de inversão por adjunta para uma matriz 3\times3 (passo a passo, sem pular etapas) e um exemplo rápido 2\times2.
  • Mostrar um exemplo de matriz não invertível e como comprovar isso calculando o determinante.
    Assim, você terá o procedimento pronto para aplicar às matrizes da Questão 31 no dia da prova.

Passo 3

Conceitos e fórmula principal (explicação didática):
  • Uma matriz quadrada A é invertível (não singular) se, e somente se, \det(A)\neq 0.
  • A fórmula que usaremos é
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A),
onde \operatorname{adj}(A) é a matriz adjunta (ou adjugate) de A.
  • A matriz adjunta \operatorname{adj}(A) é a transposta da matriz de cofatores de A. Ou seja, primeiro se calcula a matriz de cofatores C=(C_{ij}) onde cada cofator é
C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij},
e M_{ij} é o menor de A obtido removendo-se a i-ésima linha e a j-ésima coluna — isto é, o determinante da submatriz (n-1)\times(n-1) que sobra.
  • Depois se toma a transposta:
\operatorname{adj}(A)=C^{T}.
  • Se \det(A)=0, a inversa não existe; aí basta apresentar \det(A)=0 como prova.
Dica prática de prova: ao calcular a inversa por adjunta, primeiro calcule o determinante. Se for zero, pare — a matriz não é invertível. Se for diferente de zero, calcule cofatores, transponha e divida pela determinante.

Passo 4

Exemplo rápido: inversa de uma matriz 2\times2 por adjunta (fórmula direta).
Se
A=\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix},
então
\det(A)=ad-bc,
e a matriz adjunta é
\operatorname{adj}(A)=\begin{pmatrix}d & -b \\[4pt] -c & a\end{pmatrix}.
Logo, se \det(A)\neq0,
A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d & -b \\[4pt] -c & a\end{pmatrix}.
Exemplo numérico: A=\begin{pmatrix}2 & 1 \\[4pt] 5 & 3\end{pmatrix}.
  • \det(A)=2\cdot3-1\cdot5=6-5=1.
  • \operatorname{adj}(A)=\begin{pmatrix}3 & -1 \\[4pt] -5 & 2\end{pmatrix}.
  • Como \det(A)=1, obtém-se
A^{-1}=\begin{pmatrix}3 & -1 \\[4pt] -5 & 2\end{pmatrix}.
Verifique: A A^{-1}=I.]

Passo 5

Exemplo completo e passo a passo para uma matriz 3\times3. Vou escolher uma matriz com números pequenos para que dê para fazer tudo de cabeça na prova:
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\[4pt] 0 & 1 & 4\\[4pt] 5 & 6 & 0 \end{pmatrix}.
  1. Calcular \det(A). Usando expansão por linha 1 (ou regra de Sarrus para 3\times3):
\det(A)=1\cdot\begin{vmatrix}1 & 4 \\[4pt] 6 & 0\end{vmatrix} -2\cdot\begin{vmatrix}0 & 4 \\[4pt] 5 & 0\end{vmatrix} +3\cdot\begin{vmatrix}0 & 1 \\[4pt] 5 & 6\end{vmatrix}.
Calcule cada menor 2\times2:
\begin{vmatrix}1 & 4 \\[4pt] 6 & 0\end{vmatrix}=1\cdot0-4\cdot6= -24,
\begin{vmatrix}0 & 4 \\[4pt] 5 & 0\end{vmatrix}=0\cdot0-4\cdot5= -20,
\begin{vmatrix}0 & 1 \\[4pt] 5 & 6\end{vmatrix}=0\cdot6-1\cdot5= -5.
Substituindo:
\det(A)=1\cdot(-24)-2\cdot(-20)+3\cdot(-5)=-24+40-15=1.
Portanto \det(A)=1\neq0, a matriz é invertível — boa notícia: o inverso terá entradas inteiras aqui.
  1. Calcular a matriz de cofatores C=(C_{ij}). Para cada posição (i,j) calcule o menor M_{ij} (determinante da submatriz que sobra) e aplique o sinal (-1)^{i+j}.
  • Para (1,1): M_{11}=\begin{vmatrix}1 & 4 \\[4pt] 6 & 0\end{vmatrix}=-24. Logo C_{11}=(-1)^{2}M_{11}=-24.
  • Para (1,2): M_{12}=\begin{vmatrix}0 & 4 \\[4pt] 5 & 0\end{vmatrix}=-20. C_{12}=(-1)^{3}M_{12}=-1\cdot(-20)=20.
  • Para (1,3): M_{13}=\begin{vmatrix}0 & 1 \\[4pt] 5 & 6\end{vmatrix}=-5. C_{13}=(-1)^{4}M_{13}=-5.
  • Para (2,1): M_{21}=\begin{vmatrix}2 & 3 \\[4pt] 6 & 0\end{vmatrix}=2\cdot0-3\cdot6=-18. C_{21}=(-1)^{3}M_{21}=-1\cdot(-18)=18.
  • Para (2,2): M_{22}=\begin{vmatrix}1 & 3 \\[4pt] 5 & 0\end{vmatrix}=1\cdot0-3\cdot5=-15. C_{22}=(-1)^{4}M_{22}=-15.
  • Para (2,3): M_{23}=\begin{vmatrix}1 & 2 \\[4pt] 5 & 6\end{vmatrix}=1\cdot6-2\cdot5=6-10=-4. C_{23}=(-1)^{5}M_{23}=-1\cdot(-4)=4.
  • Para (3,1): M_{31}=\begin{vmatrix}2 & 3 \\[4pt] 1 & 4\end{vmatrix}=2\cdot4-3\cdot1=8-3=5. C_{31}=(-1)^{4}M_{31}=5.
  • Para (3,2): M_{32}=\begin{vmatrix}1 & 3 \\[4pt] 0 & 4\end{vmatrix}=1\cdot4-3\cdot0=4. C_{32}=(-1)^{5}M_{32}=-4.
  • Para (3,3): M_{33}=\begin{vmatrix}1 & 2 \\[4pt] 0 & 1\end{vmatrix}=1\cdot1-2\cdot0=1. C_{33}=(-1)^{6}M_{33}=1.
A matriz de cofatores é
C=\begin{pmatrix} -24 & 20 & -5\\[4pt] 18 & -15 & 4\\[4pt] 5 & -4 & 1 \end{pmatrix}.
  1. Transpor C para obter a adjunta:
\operatorname{adj}(A)=C^{T}= \begin{pmatrix} -24 & 18 & 5\\[4pt] 20 & -15 & -4\\[4pt] -5 & 4 & 1 \end{pmatrix}.
  1. Aplicar a fórmula da inversa:
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A)=\frac{1}{1}\operatorname{adj}(A)=\operatorname{adj}(A).
Logo
A^{-1}= \begin{pmatrix} -24 & 18 & 5\\[4pt] 20 & -15 & -4\\[4pt] -5 & 4 & 1 \end{pmatrix}.
Você pode conferir multiplicando A A^{-1} para ver que resulta na identidade I_{3}.]

Passo 6

Exemplo de matriz não invertível (e como comprovar):
Considere
B=\begin{pmatrix}2 & 4 \\[4pt] 1 & 2\end{pmatrix}.
Calcule o determinante:
\det(B)=2\cdot2-4\cdot1=4-4=0.
Como \det(B)=0, B não é invertível. Não faz sentido tentar calcular B^{-1}; a prova está no zero do determinante.]

Passo 7

Dicas rápidas para a prova (práticas e amigáveis):
  • Sempre calcule primeiro \det(A). Se for 0, acabou — escreva \det(A)=0 e declare não invertível.
  • Para 3\times3, use a regra de Sarrus ou expansão por linha/coluna. Escolha a linha/coluna com mais zeros para facilitar.
  • Ao calcular cofatores em 3\times3, organize os menores numa tabela antes de aplicar os sinais (-1)^{i+j}.
  • Para matrizes maiores ( 4\times4 ou mais), às vezes é mais eficiente usar operações de linha para triangularizar e calcular o determinante, mas se o enunciado exigir a “matriz adjunta” você deve mostrar o processo de cofatores/adjunta (pode simplificar com operações que não mudem os cofatores fundamentais, quando permitido).
  • Faça uma checagem final multiplicando A A^{-1} para confirmar que deu I (se houver tempo).

Passo 8

Resumo do que foi entregue aqui:
  • Expliquei passo a passo o método da matriz adjunta para obter inversas.
  • Demonstrei um exemplo 2\times2, um exemplo 3\times3 completo (com \det(A)=1, inversa calculada) e um exemplo de matriz não invertível provado pelo determinante zero.
  • Não foi possível calcular as inversas específicas pedidas na Questão 32 porque as matrizes da Questão 31 não foram fornecidas.

Resposta

Não é possível calcular as inversas pedidas porque as matrizes da Questão 31 não foram fornecidas.

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