Questão 32. Encontre as matrizes inversas das matrizes invertíveis da Questão 31 usando a matriz adjunta. Para as matrizes que não são invertíveis, calcule o determinante para comprovar.
Passo 1
O enunciado pede: “Encontre as matrizes inversas das matrizes invertíveis da Questão 31 usando a matriz adjunta. Para as matrizes que não são invertíveis, calcule o determinante para comprovar.”
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
Deve-se usar a matriz adjunta (adjugate) para obter as inversas.
Para matrizes não invertíveis, precisa-se calcular o determinante para comprovar que são não invertíveis.
Informação essencial que falta:
As matrizes listadas na Questão 31 não foram fornecidas aqui. Sem essas matrizes não é possível calcular as inversas nem os determinantes pedidos.
Passo 2
Como as matrizes específicas não foram fornecidas, não posso entregar os cálculos finais pedidos. Em vez disso, vou:
Explicar passo a passo e didaticamente como usar a matriz adjunta para obter a inversa de uma matriz quadrada (procedimento que o professor espera).
Fazer um exemplo completo e explicado de inversão por adjunta para uma matriz 3\times3 (passo a passo, sem pular etapas) e um exemplo rápido 2\times2.
Mostrar um exemplo de matriz não invertível e como comprovar isso calculando o determinante.
Assim, você terá o procedimento pronto para aplicar às matrizes da Questão 31 no dia da prova.
Passo 3
Conceitos e fórmula principal (explicação didática):
Uma matriz quadrada A é invertível (não singular) se, e somente se, \det(A)\neq 0.
A fórmula que usaremos é
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A),
onde \operatorname{adj}(A) é a matriz adjunta (ou adjugate) de A.
A matriz adjunta \operatorname{adj}(A) é a transposta da matriz de cofatores de A. Ou seja, primeiro se calcula a matriz de cofatores C=(C_{ij}) onde cada cofator é
C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij},
e M_{ij} é o menor de A obtido removendo-se a i-ésima linha e a j-ésima coluna — isto é, o determinante da submatriz (n-1)\times(n-1) que sobra.
Depois se toma a transposta:
\operatorname{adj}(A)=C^{T}.
Se \det(A)=0, a inversa não existe; aí basta apresentar \det(A)=0 como prova.
Dica prática de prova: ao calcular a inversa por adjunta, primeiro calcule o determinante. Se for zero, pare — a matriz não é invertível. Se for diferente de zero, calcule cofatores, transponha e divida pela determinante.
Passo 4
Exemplo rápido: inversa de uma matriz 2\times2 por adjunta (fórmula direta).
Se
A=\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix},
Exemplo completo e passo a passo para uma matriz 3\times3. Vou escolher uma matriz com números pequenos para que dê para fazer tudo de cabeça na prova:
Portanto \det(A)=1\neq0, a matriz é invertível — boa notícia: o inverso terá entradas inteiras aqui.
Calcular a matriz de cofatores C=(C_{ij}). Para cada posição (i,j) calcule o menor M_{ij} (determinante da submatriz que sobra) e aplique o sinal (-1)^{i+j}.
Para (1,1): M_{11}=\begin{vmatrix}1 & 4 \\[4pt] 6 & 0\end{vmatrix}=-24. Logo C_{11}=(-1)^{2}M_{11}=-24.
Para (1,2): M_{12}=\begin{vmatrix}0 & 4 \\[4pt] 5 & 0\end{vmatrix}=-20. C_{12}=(-1)^{3}M_{12}=-1\cdot(-20)=20.
Para (1,3): M_{13}=\begin{vmatrix}0 & 1 \\[4pt] 5 & 6\end{vmatrix}=-5. C_{13}=(-1)^{4}M_{13}=-5.
Para (2,1): M_{21}=\begin{vmatrix}2 & 3 \\[4pt] 6 & 0\end{vmatrix}=2\cdot0-3\cdot6=-18. C_{21}=(-1)^{3}M_{21}=-1\cdot(-18)=18.
Para (2,2): M_{22}=\begin{vmatrix}1 & 3 \\[4pt] 5 & 0\end{vmatrix}=1\cdot0-3\cdot5=-15. C_{22}=(-1)^{4}M_{22}=-15.
Para (2,3): M_{23}=\begin{vmatrix}1 & 2 \\[4pt] 5 & 6\end{vmatrix}=1\cdot6-2\cdot5=6-10=-4. C_{23}=(-1)^{5}M_{23}=-1\cdot(-4)=4.
Para (3,1): M_{31}=\begin{vmatrix}2 & 3 \\[4pt] 1 & 4\end{vmatrix}=2\cdot4-3\cdot1=8-3=5. C_{31}=(-1)^{4}M_{31}=5.
Para (3,2): M_{32}=\begin{vmatrix}1 & 3 \\[4pt] 0 & 4\end{vmatrix}=1\cdot4-3\cdot0=4. C_{32}=(-1)^{5}M_{32}=-4.
Para (3,3): M_{33}=\begin{vmatrix}1 & 2 \\[4pt] 0 & 1\end{vmatrix}=1\cdot1-2\cdot0=1. C_{33}=(-1)^{6}M_{33}=1.
Como \det(B)=0, B não é invertível. Não faz sentido tentar calcular B^{-1}; a prova está no zero do determinante.]
Passo 7
Dicas rápidas para a prova (práticas e amigáveis):
Sempre calcule primeiro \det(A). Se for 0, acabou — escreva \det(A)=0 e declare não invertível.
Para 3\times3, use a regra de Sarrus ou expansão por linha/coluna. Escolha a linha/coluna com mais zeros para facilitar.
Ao calcular cofatores em 3\times3, organize os menores numa tabela antes de aplicar os sinais (-1)^{i+j}.
Para matrizes maiores (4\times4 ou mais), às vezes é mais eficiente usar operações de linha para triangularizar e calcular o determinante, mas se o enunciado exigir a “matriz adjunta” você deve mostrar o processo de cofatores/adjunta (pode simplificar com operações que não mudem os cofatores fundamentais, quando permitido).
Faça uma checagem final multiplicando A A^{-1} para confirmar que deu I (se houver tempo).
Passo 8
Resumo do que foi entregue aqui:
Expliquei passo a passo o método da matriz adjunta para obter inversas.
Demonstrei um exemplo 2\times2, um exemplo 3\times3 completo (com \det(A)=1, inversa calculada) e um exemplo de matriz não invertível provado pelo determinante zero.
Não foi possível calcular as inversas específicas pedidas na Questão 32 porque as matrizes da Questão 31 não foram fornecidas.
Resposta
Não é possível calcular as inversas pedidas porque as matrizes da Questão 31 não foram fornecidas.