Questão 36. Engenheiros consideram a circunferência da cabeça dos homens ao desenhar capacetes para motociclistas. Os homens têm a circunferência da cabeça normalmente distribuída com média 58 cm e desvio padrão de 2 cm . Devido ao lucro, serão desenhados três tipos de capacetes: o tipo pequeno, para aqueles com a circunferência da cabeça dentre os
inferiores, o grandes, aqueles com a largura da cabeça dentre os
superiores, e médio, que servirá para a maior proporção de pessoas. Quais as larguras mínima e máxima para se ajustar ao capacete médio?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- A circunferência da cabeça é normalmente distribuída com média
cm e desvio padrão cm. - Serão feitos três tipos de capacete:
- Tipo pequeno: serve aos
inferiores da população (ou seja, até o percentil de ). - Tipo grande: serve aos
superiores da população (ou seja, acima do percentil de , pois os maiores correspondem a tudo além do ). - Tipo médio: servirá para a maior proporção de pessoas — portanto corresponde ao intervalo que sobra entre os
inferiores e os superiores.
- Tipo pequeno: serve aos
- O que precisamos achar: as larguras mínima e máxima (em cm) que definem o capacete médio, ou seja, os valores de circunferência correspondentes ao
e ao da distribuição.
Passo 2
Entendendo percentis e como transformá-los em valores: um percentil
significa o valor
tal que a probabilidade de uma observação ser menor ou igual a
é
. Formalmente, se
e queremos o percentil
(por exemplo
para
), então procuramos
tal que
Para trabalhar com a normal usamos a padronização: definimos a variável padronizada
por
que tem distribuição normal padrão
. Assim
Isso significa que devemos encontrar o valor
tal que
(ou seja, o quantil
da normal padrão) e então transformar de volta por
Vou aplicar isso aos percentis
(limite inferior do médio) e
(limite superior do médio).
Passo 3
Encontrando os quantis
da normal padrão:
- Para
buscamos tal que . Usando tabela da normal padrão ou calculadora inversa, obtemos aproximadamente
(Dica prática para prova: se você tem tabela que dá áreas positivas, procura 0,15 e encontra o
correspondente; muitas tabelas dão 0,1587 próximo de
, mas para 0,15 o valor é um pouco menor, cerca de
.)
- Para
buscamos tal que . Da tabela ou calculadora inversa:
Passo 4
Transformando os
-scores de volta para valores de circunferência
usando
:
- Para o limite inferior do médio (percentil
):
- Para o limite superior do médio (percentil
):
Passo 5
Arredondamento e interpretação prática:
-
Normalmente, em medidas de roupa/chapéu/ capacete, faz sentido arredondar para dois decimais ou para uma casa decimal dependendo do padrão. Vou apresentar com duas casas decimais:
- Largura mínima para o capacete médio:
cm. - Largura máxima para o capacete médio:
cm.
- Largura mínima para o capacete médio:
-
Verificação rápida de consistência: a proporção coberta pelo capacete médio é
, que faz sentido ser a “maior proporção”. Então o intervalo entre cm e cm abrange aproximadamente da população, como pedido.