Questão 36. Engenheiros consideram a circunferência da cabeça dos homens ao desenhar capacetes para motociclistas. Os homens têm a circunferência da cabeça normalmente distribuída com média 58 cm e desvio padrão de 2 cm . Devido ao lucro, serão desenhados três tipos de capacetes: o tipo pequeno, para aqueles com a circunferência da cabeça dentre os 15 \% inferiores, o grandes, aqueles com a largura da cabeça dentre os 30 \% superiores, e médio, que servirá para a maior proporção de pessoas. Quais as larguras mínima e máxima para se ajustar ao capacete médio?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • A circunferência da cabeça é normalmente distribuída com média \mu=58 cm e desvio padrão \sigma=2 cm.
  • Serão feitos três tipos de capacete:
    • Tipo pequeno: serve aos 15\% inferiores da população (ou seja, até o percentil de 15\%).
    • Tipo grande: serve aos 30\% superiores da população (ou seja, acima do percentil de 70\%, pois os 30\% maiores correspondem a tudo além do 70\%).
    • Tipo médio: servirá para a maior proporção de pessoas — portanto corresponde ao intervalo que sobra entre os 15\% inferiores e os 30\% superiores.
  • O que precisamos achar: as larguras mínima e máxima (em cm) que definem o capacete médio, ou seja, os valores de circunferência correspondentes ao 15\% e ao 70\% da distribuição.

Passo 2

Entendendo percentis e como transformá-los em valores: um percentil p significa o valor x_p tal que a probabilidade de uma observação ser menor ou igual a x_p é p. Formalmente, se X\sim N(\mu,\sigma^2) e queremos o percentil p (por exemplo p=0{,}15 para 15\%), então procuramos x_p tal que
P(X\le x_p)=p.
Para trabalhar com a normal usamos a padronização: definimos a variável padronizada Z por
Z=\frac{X-\mu}{\sigma},
que tem distribuição normal padrão N(0,1). Assim
P(X\le x_p)=P\!\left(Z\le\frac{x_p-\mu}{\sigma}\right)=p.
Isso significa que devemos encontrar o valor z_p tal que P(Z\le z_p)=p (ou seja, o quantil p da normal padrão) e então transformar de volta por
x_p=\mu+\sigma z_p.
Vou aplicar isso aos percentis p=0{,}15 (limite inferior do médio) e p=0{,}70 (limite superior do médio).

Passo 3

Encontrando os quantis z_p da normal padrão:
  • Para p=0{,}15 buscamos z_{0{,}15} tal que P(Z\le z_{0{,}15})=0{,}15. Usando tabela da normal padrão ou calculadora inversa, obtemos aproximadamente
z_{0{,}15}\approx -1{,}03643.
(Dica prática para prova: se você tem tabela que dá áreas positivas, procura 0,15 e encontra o z correspondente; muitas tabelas dão 0,1587 próximo de -1{,}00, mas para 0,15 o valor é um pouco menor, cerca de -1{,}036.)
  • Para p=0{,}70 buscamos z_{0{,}70} tal que P(Z\le z_{0{,}70})=0{,}70. Da tabela ou calculadora inversa:
z_{0{,}70}\approx 0{,}52440.

Passo 4

Transformando os z-scores de volta para valores de circunferência x_p usando \,x_p=\mu+\sigma z_p:
  • Para o limite inferior do médio (percentil 15\%):
x_{0{,}15}=\mu+\sigma z_{0{,}15}=58 + 2\cdot(-1{,}03643)=58 - 2{,}07286=55{,}92714\\ \text{cm}.
  • Para o limite superior do médio (percentil 70\%):
x_{0{,}70}=\mu+\sigma z_{0{,}70}=58 + 2\cdot 0{,}52440=58 + 1{,}04880=59{,}04880\\ \text{cm}.

Passo 5

Arredondamento e interpretação prática:
  • Normalmente, em medidas de roupa/chapéu/ capacete, faz sentido arredondar para dois decimais ou para uma casa decimal dependendo do padrão. Vou apresentar com duas casas decimais:
    • Largura mínima para o capacete médio: x_{0{,}15}\approx 55{,}93 cm.
    • Largura máxima para o capacete médio: x_{0{,}70}\approx 59{,}05 cm.
  • Verificação rápida de consistência: a proporção coberta pelo capacete médio é 70\%-15\%=55\%, que faz sentido ser a “maior proporção”. Então o intervalo entre 55{,}93 cm e 59{,}05 cm abrange aproximadamente 55\% da população, como pedido.

Resposta

55,93\\ \text{cm}
59,05\\ \text{cm}

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