Questāo q. Seja um plano que contém a reta e é perpendicular ao plano pi: 2 x-y+3 z-4=0. Determine:
a) A equação geral de gamma. ( 1,5 ponto).
b) O ångulo entre gamma e pi. (1,0 ponto)
Passo 1
O enunciado pede o plano
e é perpendicular ao plano
Conteúdo: equação de plano em (\mathbb{R}^3], normal de plano, condição de perpendicularidade de planos (normais perpendiculares) e produto vetorial.
Passo 2
Identificamos na reta r um ponto qualquer e o vetor diretor:
Um ponto em r é
P0=(-2,1,4)
O vetor diretor de r é
v=(1,-3,0),
pois v=(De<a x,De<a y,De<a z)=(1,-3,0).
Passo 3
O plano pi tem vetor normal
npi=(2,-1,3)
Passo 4
Como gamma deve ser perpendicular a pi, seus normais satisfazem
ngammacdotnpi=0
Além disso, ngamma deve ser perpendicular a v, pois v está contido em gamma. Logo podemos tomar
ngamma=vtimesnpi
Calculando o produto vetorial:
ngamma = i&j&k 1&-3&0 2&-1&3 =( -9,,-3,,5)
Podemos usar também o vetor multiplicado por -1, por exemplo (9,3,-5).
Passo 5
A equação geral de gamma com normal ngamma=(-9,-3,5) e passando por P0=(-2,1,4) é
-9(x+2)-3(y-1)+5(z-4)=0
Expandindo sem texto dentro da fórmula:
-9x-18-3y+3+5z-20=0
-9x-3y+5z-35=0
Multiplicando por -1 para simplificar o sinal:
9x+3y-5z+35=0
Passo 6
O ângulo phi entre gamma e pi é o ângulo entre seus normais ngamma e npi, dado por
cosphi =|ngammacdotnpi||ngamma||npi|
Como ngammacdotnpi=(-9)cdot2+(-3)cdot(-1)+5cdot3= -18+3+15=0, temos