Questão 34. (Limites Infinitos e Limites no Infinito)
Calcule os limites a seguir
lim t +infty(raiz25 t^2+2-5 t)

Passo 1

Beleza, a questão pede pra calcular
limtto+inftyl(raiz25t^2+2;-;5tr).
Isso é um problema de “limites no infinito” envolvendo uma forma do tipo ∞ − ∞.
Para resolver, a gente vai usar uma técnica de álgebra chamada racionalização (multiplicar pela conjugada) e depois propriedades de limites.

Passo 2

Primeiro, nota que quando tto+infty, tanto raiz25t^2+2 quanto 5t crescem sem parar, então parece ∞ − ∞—uma indeterminação.
Pra tirar isso, a gente multiplica e divide pela conjugada:
raiz25t^2+2-5t ;times; raiz25t^2+2+5traiz25t^2+2+5t

Passo 3

Fazendo a conta no numerador usando (a-b)(a+b)=a^2-b^2:
(raiz25t^2+2)^2 - (5t)^2 ;=; (25t^2+2) - 25t^2 ;=; 2
Então a expressão vira
2raiz25t^2+2+5t

Passo 4

Agora fatoramos t de dentro da raiz pra facilitar o limite:
raiz25t^2+2 = t,raiz25 + tfrac2t^2,
logo
raiz25t^2+2+5t = tl(raiz25 + tfrac2t^2 + 5r)
Isso dá
2tl(raiz25 + tfrac2t^2 + 5r)
Quando ttoinfty, tfrac2t^2to0 e raiz25+0=5, então o denominador cresce como t(5+5)=10t.
Assim a fração vira algo do tipo tfrac210t, que vai a zero.

Resposta

boxed0

Exercícios relacionados