Use o método de Frobenius em torno de x=0 para obter a equação indicial e suas raízes para a equação diferencial:
2 x y^prime prime+y^prime+y=0
Lembrando que
y=sumn=0^infty an x^n+r

Passo 1

Na equação diferencial 2x y'' + y' + y = 0 queremos usar o método de Frobenius em torno de x=0, assumindo uma solução da forma
y = sumn=0^infty an x^n+r
O conteúdo da matéria é séries de Frobenius e precisamos obter a equação indicial e suas raízes.

Passo 2

Calculamos as derivadas de y:
y' = sumn=0^infty an (n+r) x^n+r-1
y'' = sumn=0^infty an (n+r)(n+r-1) x^n+r-2
Isso nos prepara para substituir na EDO.

Passo 3

Substituímos y, y' e y'' em
2x y'' + y' + y = 0
e obtemos
2sumn=0^infty an (n+r)(n+r-1) x^n+r-1 + sumn=0^infty an (n+r) x^n+r-1 + sumn=0^infty an x^n+r = 0
Para comparar potências iguais de x, reescrevemos o último termo com índice deslocado:
sumn=1^infty an-1 x^n+r-1
Assim, todos os somatórios ficam em x^n+r-1.

Passo 4

A equação indicial vem do coeficiente do menor expoente, que é x^r-1. Esse termo só aparece para n=0 nos dois primeiros somatórios, resultando em
a0 l(2r(r-1) + rr) = 0
Portanto a equação indicial é
r(2r-1) = 0

Passo 5

Resolvendo r(2r-1)=0, encontramos as raízes
r = 0 e r = tfrac12

Resposta

A equação indicial é r(2r-1)=0 com raízes r=0 e r=1/2.

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