Resolva por transformada de Laplace o seguinte PVI:
y^prime prime+4 y=f(t), y(0)=0, y^prime(0)=1, onde f(t)= 0, & t<1 t^2-2 t+1, & t >= 1

Passo 1

O enunciado é um problema de valor inicial para a EDO
onde
O conteúdo é transformada de Laplace, usando a função degrau de Heaviside para tratar o termo descontínuo em .

Passo 2

Escrevemos f(t) com o degrau u(t-1). Note que, para t>=1,
t^2-2t+1=(t-1)^2,
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f(t)=(t-1)^2,u(t-1)
A transformada de Laplace é
F(s)= L(t-1)^2u(t-1)(s)=e^-s, Lt^2(s) =e^-s,2s^3

Passo 3

Fazendo a transformada na EDO, lembrando que
Ly''=s^2Y(s)-s,y(0)-y'(0)=s^2Y(s)-1, obtemos
s^2Y(s)-1+4Y(s)=F(s) Longrightarrow Y(s)l(s^2+4r)=1+2e^-ss^3 Longrightarrow Y(s)=1s^2+4+2e^-ss^3(s^2+4)

Passo 4

Separamos
Y(s)=underbrace1s^2+4Y1(s) ;+;underbrace2,e^-ss^3,(s^2+4)Y2(s)
O primeiro termo inverte diretamente e o segundo usará a propriedade do deslocamento no tempo.

Passo 5

Invertendo o primeiro termo:
L^-1l1s^2+4r(t) =12sin(2t)

Passo 6

Para inverter
2s^3(s^2+4) fazemos frações parciais:
2s^3(s^2+4) =As+Bs^2+Cs^3+Ds+Es^2+4
Multiplicando por s^3(s^2+4) e comparando coeficientes, resulta
B=0, C=tfrac12, A=-tfrac18, D=tfrac18, E=0
Assim
2s^3(s^2+4) =-18,1s +12,1s^3 +18,ss^2+4

Passo 7

Invertendo cada parcela:
L^-1l-tfrac18sr= -tfrac18, L^-1ltfrac12s^3r=tfract^24, L^-1ltfrac18,ss^2+4r =tfrac18cos(2t)
Logo, definindo
g(t)= L^-1ltfrac2s^3(s^2+4)r =t^24+18l(cos(2t)-1r)

Passo 8

Pela propriedade do deslocamento,
L^-1e^-sG(s)(t)=g(t-1),u(t-1)
Portanto o segundo termo de Y(s) gera
g(t-1),u(t-1) =l[tfrac(t-1)^24+tfrac18l(cos[2(t-1)]-1r)r]u(t-1)

Resposta

y(t)=12sin(2t) +gl[(t-1)^24+18l(cosl(2(t-1)r)-1r)gr]u(t-1)

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