Questão 34. (Limites Infinitos e Limites no Infinito)
Calcule os limites a seguir
lim x +infty[ln (1+x^2)-ln (1+x)]]

Passo 1

O enunciado pede o valor de
limxto+inftyl[ln(1+x^2)-ln(1+x)r]
O conteúdo é limites no infinito e propriedades de logaritmos. Vamos usar ln a - ln b = ln!l(tfrac a br) e depois analisar o comportamento da fração para xto+infty.

Passo 2

Aplicando a regra de diferença de logaritmos, escrevemos
ln(1+x^2)-ln(1+x) = ln!gl(1+x^21+xgr)

Passo 3

Para ver o que acontece em xto+infty, fatoramos potências de x:
1+x^21+x = x^2l(1+tfrac1x^2r)xl(1+tfrac1xr) = xcdot1+tfrac1x^21+tfrac1x
Como tfrac1xto0 e tfrac1x^2to0, temos 1+tfrac1x^21+tfrac1xto1. Logo
1+x^21+xsim x

Passo 4

Então
ln!gl(1+x^21+xgr) = ln(x) + ln!gl(1+tfrac1x^21+tfrac1xgr)
O segundo termo tende a ln(1)=0 e ln(x)to+infty quando xto+infty. Portanto o limite diverge para +infty.

Resposta

+infty

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