Questão 34. (Limites Infinitos e Limites no Infinito)
Calcule os limites a seguir
lim x +infty 1-e^x1+2^x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto+infty1 - e^x1 + 2^x
Isso faz parte de “Limites infinitos e limites no infinito”.
Para resolver vamos usar:
  1. Entender que, quando xto+infty, e^x e 2^x crescem muito rápido (indeterminação do tipo infty/infty).
  2. A técnica de fatorar o termo exponencial dominante para comparar taxas de crescimento.

Passo 2

Pensando qualitativamente:
  • No numerador, o termo e^x domina sobre o 1, logo 1 - e^xapprox -e^x quando x é grande.
  • No denominador, 2^x domina sobre o 1, então 1 + 2^xapprox 2^x.
    Isso já sugere algo como -e^x2^x = -l(tfrace2r)^x, mas vamos fazer direitinho com fatoração.

Passo 3

Fatoramos 2^x no numerador e no denominador:
1 - e^x1 + 2^x = 12^x - e^x2^x 12^x + 1 = 12^x - l(tfrace2r)^x 1 + 12^x

Passo 4

Agora analisamos o que cada pedacinho faz quando xtoinfty:
  • 12^xto0.
  • l(tfrace2r)^xto+infty porque e/2>1.
    Logo o numerador tfrac12^x - (e/2)^xto -infty, e o denominador 1 + tfrac12^xto1.

Resposta

limxto+infty1 - e^x1 + 2^x = -infty

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